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Rätsel der Woche Zahlen raten – aber clever

Shirin hat sich eine Zahl von 1 bis 999 ausgedacht. Sie sollen diese Zahl herausfinden, dürfen Shirin aber höchstens sieben Fragen stellen. Wie müssen Sie vorgehen?
Foto: DER SPIEGEL

Es ist immer hilfreich, eine gute Strategie zu haben. Beim folgenden Rätsel erspart das sogar einige überflüssige Fragen.

Ihre beste Freundin Shirin hat sich eine Zahl im Bereich von 1 bis 999 ausgedacht. Sie kennen diese Zahl nicht, sollen Sie aber mit möglichst wenigen Fragen herausfinden. Würden Sie zufällig eine Zahl auswählen, stünden die Chancen bei 1/999, dass Sie die richtige Zahl erwischt haben. Also müssen Sie Ihrer Freundin mehrere Fragen stellen.

Wenn Shirin nur mit Ja oder Nein antworten darf, könnten Sie mit folgenden zehn Fragen herausfinden, dass Shirin sich die Zahl 84 ausgesucht hat:

Frage 1: Liegt die Zahl im Bereich von 1 bis 501?
Antwort: Ja.
Frage 2: Liegt die Zahl im Bereich von 1 bis 251?
Antwort: Ja.
Frage 3: Liegt die Zahl im Bereich von 1 bis 126?
Antwort: Ja.
Frage 4: Liegt die Zahl im Bereich von 1 bis 64?
Antwort: Nein.
Frage 5: Liegt die Zahl im Bereich von 65 bis 95?
Antwort: Ja.
Frage 6: Liegt die Zahl im Bereich von 65 bis 80?
Antwort: Nein.
Frage 7: Liegt die Zahl im Bereich von 81 bis 88?
Antwort: Ja.
Frage 8: Liegt die Zahl im Bereich von 81 bis 84?
Antwort: Ja.
Frage 9: Liegt die Zahl im Bereich von 81 bis 82?
Antwort: Nein.
Frage 10: Ist es die Zahl 83?
Antwort: Nein.

Damit steht fest, dass Shirin die 84 gewählt hat.

Die zehn Fragen basieren auf einem sogenannten binären Suchbaum . Dabei halbieren wir, vereinfacht gesagt, mit jedem Schritt den Bereich der infrage kommenden Zahlen.

Nun zur eigentlichen Frage:

Schaffen Sie es auch mit sieben Fragen, die von Shirin gewählte Zahl herauszufinden, wenn als zusätzliche Antwortmöglichkeit neben »Ja« und »Nein« auch »Weiß ich nicht« erlaubt ist?

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Ja, es reichen sieben Fragen.

Der Trick besteht darin, die Antwortmöglichkeit »Weiß nicht« zu nutzen, um den Bereich der infrage kommenden Zahlen von einer Frage zur nächsten immer auf etwa ein Drittel zu reduzieren. Beim oben beschriebenen binären Suchbaum wird der Bereich hingegen immer nur halbiert.

Die erste Frage, die Sie Shirin stellen, ist die folgende:

»Ich habe mir eine Zahl von 334 bis 667 ausgedacht. Ist die von dir gewählte Zahl kleiner als meine Zahl?«

Shirin hat nun drei Antwortoptionen. Sagt sie »Ja«, liegt ihre Zahl im Bereich 1 bis 333. Sagt sie »Nein«, muss ihre Zahl größer als 666 sein. Wenn Shirins Zahl im Bereich 334 bis 666 liegt, muss sie antworten »Weiß ich nicht«. Denn Shirin kennt die Zahl von 334 bis 666 nicht, die wir uns ausgedacht haben. Diese könnte kleiner sein als Shirins Zahl, aber auch gleich groß oder größer.

Diese spezielle Fragetechnik nutzen wir bei allen sieben Fragen. Mit Frage 1 reduzieren wir die Anzahl infrage kommender Zahlen von 999 auf 333, mit Frage 2 auf 111 Zahlen, mit Frage 3 auf 37 Zahlen, mit Frage 4 auf 13 Zahlen, mit Frage 5 auf 5 Zahlen, mit Frage 6 auf 2 Zahlen und mit Frage 7 auf eine Zahl. Damit steht fest, dass sieben Fragen reichen.

Entdeckt habe ich diese hübsche Variante des binären Suchbaums bei Alex Bellos, der alle zwei Wochen ein Matherätsel beim »Guardian« veröffentlicht .

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten zehn Folgen:

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Korrektur: Die ursprünglich hier angegebene erste Frage von Shirin habe ich korrigiert. Sie lautete: »Ich habe mir eine Zahl von 334 bis 666 ausgedacht. Ist die von dir gewählte Zahl kleiner als meine Zahl?« In der Erläuterung der Antwortoptionen war dabei ein Fehler bei der Zuordnung der Zahl 666. Antwortet Shirin mit »Weiß ich nicht«, muss ihre Zahl im Bereich von 334 bis 665 liegen – und nicht im Bereich 334 bis 666. Antwortet sie »Nein«, ist die Zahl im Bereich 666 bis 999. Am Lösungsweg ändert sich jedoch nichts – er benötigt weiterhin sieben Fragen. Damit die Lösung jedoch so klar wie möglich bleibt, habe hier ich nicht die Erläuterung angepasst, sondern die erste Frage: »Ich habe mir eine Zahl von 334 bis 667 ausgedacht. Ist die von dir gewählte Zahl kleiner als meine Zahl?«

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