Rätsel der Woche Der Halbkreis im Viertelkreis
DER SPIEGEL
Es wird geometrisch – und nicht ganz einfach! Zur Lösung des Problems benötigen Sie trotzdem kein besonderes Vorwissen.
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Gegeben ist ein Viertelkreis mit dem Radius 1. In diesen Viertelkreis ist ein gelber Halbkreis eingezeichnet, der den Viertelkreis an vier Punkten von innen berührt – siehe Zeichnung oben.
Wie groß ist die Fläche des gelben Halbkreises?
Der Halbkreis hat eine Fläche von Pi/6.
Der Kniff, der uns direkt zur Lösung führt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Seine Eckpunkte sind die Mittelpunkte des Halbkreises und des Viertelkreises sowie der Punkt, an dem der Halbkreis den Viertelkreis rechts berührt. In der folgenden Skizze ist dieses rechtwinklige Dreieck orangefarben gezeichnet.
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Wir bezeichnen den Radius des Halbkreises mit r. Die kurze Kathete des orangefarbenen Dreiecks hat die Länge r. Seine Hypotenuse entspricht dem Radius des Viertelkreises und hat deshalb die Länge 1.
Fehlt noch die Länge der längeren Kathete, die wir leicht berechnen können. Sie entspricht der Diagonale d eines Quadrats mit der Seitenlänge r und hat die Länge Wurzel(2) mal r. Das ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: d2 = r2 + r2 = 2r2.
Wir kennen damit zwar r noch nicht, aber hier hilft uns der Satz des Pythagoras zum zweiten Mal weiter. Für das orangefarbene, rechtwinklige Dreieck gilt:
12 = (Wurzel(2)r)2 + r2
1 = 2r2 + r2
1 = 3r2
r = 1/Wurzel(3)
Die Fläche des Halbkreises mit dem Radius r beträgt Pi*r2/2. Mit r = 1/Wurzel(3) ergibt sich die Größe von Pi/6.
Entdeckt habe ich diese Aufgabe auf dem Portal Mathigon .
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