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Rätsel der Woche Der Kartentrick

30 Spielkarten sind über drei Stapel verteilt. Drei verschiedene Farben kommen je zehnmal vor. Wie oft müssen Sie Karten tauschen, bis jeder Stapel nur noch Karten derselben Farbe enthält?
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DER SPIEGEL

Auf einem Tisch liegen 30 Spielkarten. Sie haben drei verschiedene Farben, die gleich häufig auftreten. Jede Farbe gibt es also zehnmal. Aus den 30 Farben werden zufällig drei Stapel mit je zehn Karten gebildet – siehe Zeichnung oben.

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Sie sollen nun die Karten so umsortieren, dass in jedem der drei Stapel nur noch Karten derselben Farbe liegen.

Ein Umsortierungsschritt läuft folgendermaßen ab: Sie nehmen eine Karte aus einem Stapel und tauschen sie mit einer Karte aus einem anderen Stapel.

Wie viele solcher Schritte sind maximal nötig, bis jeder Stapel einfarbig ist? Gesucht ist die kleinste Anzahl an Schritten, mit der das Sortieren nach Farben in allen Konstellationen klappt.

Es müssen höchstens zehnmal Karten getauscht werden.

Zunächst eine allgemeine Überlegung: Es gibt in jedem Stapel bestehend aus zehn Karten mindestens eine Farbe, die viermal oder häufiger darin vertreten ist. Warum ist das so? Wäre jede der drei Farben in einem Stapel maximal dreimal vorhanden, käme man nicht auf insgesamt zehn Karten.

Wir machen nun eine Fallunterscheidung und beginnen mit dem einfachen Fall:

In einem Stapel kommt eine Farbe fünfmal oder häufiger vor.

Dann müssen wir höchstens fünf Karten tauschen, bis in diesem Stapel alle zehn Karten dieselbe Farbe haben. Übrig bleiben zwei Stapel, in denen nur noch die zwei anderen Farben vorkommen. Im ungünstigsten Fall sind beide Farben in beiden Stapeln je fünfmal vorhanden. Wir benötigen deshalb maximal fünf weitere Schritte, bis auch diese beiden Stapel einfarbig sind. Insgesamt sind deshalb höchstens zehn Schritte nötig.

Nun zum zweiten Fall:

Die maximale Anzahl der Karten einer Farbe beträgt in allen drei Stapeln vier.

Wir müssen dann in jedem Fall sechs Karten tauschen, bis der erste Stapel einfarbig ist. Wenn in den zwei anderen Stapeln die verbleibenden zwei Farben dann je fünfmal auftreten, wären fünf weitere Schritte nötig, insgesamt also elf. Doch wir können diese Konstellation verhindern, wie wir gleich sehen werden. Teils benötigen wir sogar insgesamt nur neun Schritte.

Wir schauen uns die drei möglichen Farbverteilungen an:

  1. In allen drei Stapeln sind eine Farbe vierfach und zwei Farben dreifach.

  2. In allen drei Stapeln sind zwei Farben vierfach und eine Farbe zweifach.

  3. Die Konstellation vierfach, vierfach, zweifach tritt in nur einem Stapel auf – in den anderen beiden Stapeln lautet sie vierfach, dreifach, dreifach.

In der Verteilung 1 benötigen wir nur neun Schritte, bis alle drei Stapel einfarbig sind – siehe folgende Skizze:

Foto:

DER SPIEGEL

Verteilung 2 erfordert zwingend zehn Schritte. Es gibt dabei mehrere Optionen, eine davon ist hier dargestellt:

Foto:

DER SPIEGEL

In der Verteilung 3 schaffen wir das Sortieren der Farben ebenfalls nur in zehn Schritten. Eine Lösungsvariante zeigt folgende Zeichnung.

Foto:

DER SPIEGEL

Damit haben wir bewiesen, dass wir im Höchstfall zehn Schritte brauchen, um die Stapel nach Farben zu sortieren.

Entdeckt habe ich dieses Rätsel auf Twitter beim Account des Australiers James Stanton .

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