Rätsel der Woche Der Streit um die Kokosnüsse
DER SPIEGEL
Ihr Dreimaster hat Schiffbruch erlitten: So sind die fünf Seemänner und ihr Affe auf einer einsamen Insel in der Südsee gelandet. Dort gibt es zum Glück viele Kokospalmen. Am ersten Tag sammeln sie alle Kokosnüsse, die sie finden können und werfen sie auf einen großen Haufen. Als es dunkel wird, legen sich die fünf Seemänner erschöpft hin und schlafen ein.
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In der Nacht wacht der erste Seemann auf. Ihn treibt die Sorge um, dass er nicht genug Kokosnüsse bekommen könnte. Er teilt die Kokosnüsse in fünf gleich große Haufen auf. Dabei bleibt eine Nuss übrig, die er dem Affen gibt. Der Seemann nimmt sich seinen Anteil, also ein Fünftel der Nüsse, und versteckt ihn. Anschließend legt er den Rest der Nüsse wieder zu einem Haufen zusammen und schläft ein.
Kurze Zeit später erwacht der zweite Seemann. Auch er teilt die Kokosnüsse in fünf gleich große Haufen auf. Dabei bleibt ebenfalls eine Nuss übrig, die er dem Affen gibt. Auch der zweite Seemann nimmt sich seinen Anteil, ein Fünftel der Nüsse, und versteckt diesen. Aus dem Rest der Nüsse baut er einen Haufen und legt sich schlafen.
Als danach die Seemänner drei, vier und fünf nacheinander aufwachen, gehen sie vor wie die ersten beiden Seemänner. Sie nehmen sich jeweils ein Fünftel des Haufens. Dabei bleibt jeweils eine Nuss übrig, die der Affe bekommt. Den Rest der Nüsse legen sie zurück in die Mitte.
Als die Männer am nächsten Morgen erwachen, fällt ihnen auf, dass der Haufen deutlich kleiner geworden ist. Aber niemand sagt etwas. Sie teilen die Kokosnüsse in fünf gleich große Haufen auf, jeder bekommt ein Fünftel. Bei der Aufteilung bleibt eine Kokosnuss übrig, die der Affe bekommt.
Was ist die kleinstmögliche Anzahl an Nüssen, die die Männer ursprünglich gesammelt haben?
Der Haufen bestand ursprünglich aus 15.621 Kokosnüssen.
Auf den ersten Blick erscheint die Aufgabe kaum lösbar angesichts der vielen Unbekannten. Doch mit etwas Geschick können wir die Zahl der Unbekannten reduzieren. n ist die gesuchte Gesamtzahl der Nüsse. Mit n1, n2, n3, n4, n5 bezeichnen wir die Zahl der Nüsse, die sich die Seemänner von 1 bis 5 nachts heimlich genommen haben. n6 ist die Zahl der Nüsse, die jeder am nächsten Morgen erhält. Dann gilt folgende Gleichung:
n = 5n1, + 1
4n1 = 5n2 + 1
4n2 = 5n3 + 1
4n3 = 5n4 + 1
4n4 = 5n5 + 1
4n5 = 5n6 + 1
Wir setzen nun immer die unterste Gleichung in die darüberstehende ein. Damit das klappt, müssen wir die obere Gleichung jeweils mit 4er-Potenzen multiplizieren. Am Ende erhalten wir:
1024n = 15.625n6 + 11.529
Das ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten, wobei die Unbekannten n und n6 beide ganzzahlig sein müssen. Eine solche Gleichung heißt in der Mathematik diophantische Gleichung . Wir suchen die kleinstmögliche Lösung für n. Um die Lösung zu finden, dividieren wir die Gleichung durch 1024 und zerlegen die Ausdrücke in Vielfache von 1024 und den verbleibenden Rest.
n = (15.625n6 + 11.529)/1024
n = 15n6 + 11 + (265n6 + 265)/1024
n = 15n6 + 11 + x
Wir bezeichnen den Term ganz rechts mit x. Die Zahl x muss zwingend ganzzahlig sein, damit auch n ganzzahlig ist. Damit haben wir eine neue diophantische Gleichung:
x = (265n6 + 265)/1024
1024x = 265n6 + 265
n6 = 3x - 1 + 229x/265
Damit n6 ganzzahlig ist, muss 229x/265 ganzzahlig sein. Weil 229 eine Primzahl ist, muss x ein Vielfaches von 265 sein. Also gilt:
x = 265k (wobei k ganzzahlig ist)
n ist am kleinsten, wenn n6 und x am kleinsten sind (n = 15n6 + 11 + x). Und n6 ist am kleinsten, wenn x am kleinsten ist. Das kleinstmögliche x erhalten wir für k = 1. Dann gilt:
x = 265
n6 = 1023
n = 15.621
Entdeckt habe ich dieses Rätsel im Buch »Famous Puzzles of Great Mathematicians« von Miodrag Petković.
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