Rätsel der Woche Der verwirrte Kassierer
DER SPIEGEL
Zahlendreher sind ein häufiger Fehler beim Eintippen von Daten. Dem Kassierer, um den es im folgenden Rätsel geht, unterläuft allerdings ein noch gröberer Fauxpas.
Steffi hat kein Bargeld dabei, aber eine Bluse, die ihr doch nicht so gut passt. Sie möchte sie deshalb zurückgeben. Sie betritt das Geschäft und gibt den Kassenbon und die Bluse dem Kassierer. Der verwechselt bei der Auszahlung allerdings Cent und Euro, was Steffi zunächst nicht auffällt.
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01.04.2023 20.35 Uhr
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Nachdem sie den Laden verlassen hat, kommt sie an einem Eisladen vorbei, vor dem ein traurig dreinblickender Junge steht. Ihm fehlen fünf Cent, um sich eine Kugel Eis zu kaufen. Steffi kann ihm helfen. Sie hat ja eben beim Umtausch ihrer Bluse Bargeld bekommen und gibt dem Jungen die fehlenden fünf Cent.
Zu Hause zählt sie das Bargeld nach und wundert sich: Sie hat exakt doppelt sie viel im Portemonnaie, wie die Bluse gekostet hat. Als sie den Laden betreten hatte, war ihre Geldbörse leer.
Wie lautet der Preis der Bluse?
Die Bluse hat 31 Euro und 63 Cent gekostet.
Bei der Lösung dieses Zahlenproblems kann man sich schnell in komplizierten Modulo-Berechnungen verlieren. Einen eleganten Lösungsweg hat Martin Gardner in seinem Buch »My best Mathematical and Logical Puzzles« vorgestellt. Gardner hatte die Aufgabe selbst auf einem mathematisch vergleichsweise anspruchsvollen Weg gelöst. Doch die Leserinnen und Leser seiner Kolumne im »Scientific American« schickten ihm eine cleverere Variante, die mit elementarer Mathematik auskommt. Der Trick dabei: Die Werte für Cent und Euro werden separat betrachtet.
Wir nehmen an, dass die Bluse x Euro und y Cent kostet. Der Kassierer gibt Steffi jedoch y Euro und x Cent aus der Kasse. Wir wissen, dass sowohl x als auch y natürliche Zahlen kleiner als 100 sein müssen.
Steffi verschenkt 5 Cent an den Jungen vorm Eisladen – hat also schließlich noch y Euro und x-5 Cent. Dies soll genau dem Doppelten des Preises der Bluse entsprechen – also 2x Euro und 2y Cent.
Wir schauen nun einzeln auf die Euro- und Centbeträge und müssen dabei zwei Fälle unterscheiden:
A) y < 50
In diesem Fall gilt:
y = 2x (Eurobetrag)
x - 5 = 2y (Centbetrag)
Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, kommen wir auf x = -5. Negative Werte sind nicht möglich, weshalb es in diesem Fall keine Lösung gibt.
B) y >= 50
In diesem Fall erhöht sich beim Verdoppeln des Blusenpreises der Eurobetrag zusätzlich um 1, weil der doppelte Centbetrag größer als ein Euro ist. Wir schreiben y = 50 + z, wobei z kleiner als 50 ist. Die Bluse kostet dann x Euro und 50 + z Cent. Der doppelte Preis der Bluse beträgt 2x Euro und 100 + 2z Cent – also 2x + 1 Euro und 2z Cent.
Steffi hat dann 50 + z Euro und x Cent ausgezahlt bekommen. Und schließlich zu Hause noch 50 + z Euro und x - 5 Cent einstecken. Nun stellen wir wie oben getrennt die Gleichungen für den Euro- und Centbetrag auf:
50 + z = 2x + 1 (Eurobetrag)
x - 5 = 2z (Centbetrag)
Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir als Lösung x=31 und z=13. Die Bluse hat dann 31 Euro und z+50 = 13+50 = 63 Cent gekostet. Der Kassierer hat Steffi 63 Euro und 31 Cent ausgezahlt. Nachdem Steffi 5 Cent am Eisladen verschenkt hat, sind noch 63 Euro und 26 Cent in ihrer Geldbörse – exakt das doppelte des Blusenwerts von 31 Euro und 63 Cent. Das ist die gesuchte Lösung!
Ganz fertig sind wir aber noch nicht! Denn es gibt noch einen weiteren Fall, den wir untersuchen müssen, um ganz sicher zu sein, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Wenn x < 5 ist, verringert sich der Eurobetrag in Steffis Börse um 1, nachdem sie 5 Cent verschenkt hat – und der Centbetrag steigt auf über 90! Wir setzen x = 4 - a, wobei a ganzzahlige Werte von 0 bis 4 annehmen kann.
Die Bluse kostet dann 4-a Euro und y Cent. Steffi bekommt y Euro und 4-a Cent. Nach dem Verschenken von 5 Cent hat sie noch y-1 Euro und 99-a Cent. Nun schauen wir wieder auf die Euro- und Centbeträge – zunächst für den Fall y < 50:
y-1 = 8-2a
99-a = 2y
Dies führt zu einer negativen Lösung für a, was nicht sein darf. Und auch im Fall y >= 50 kommen wir auf kein Ergebnis mit natürlichen Zahlen < 100. Also gibt es nur die eine oben angegebene Lösung.
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
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01.04.2023 20.35 Uhr
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