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Rätsel der Woche Die Magie der Zahl 3

Ob eine Zahl durch 3 teilbar ist oder nicht, verrät ihre Quersumme. Warum funktioniert dieser Trick überhaupt?
Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Es grenzt an Zauberei: Wer wissen will, ob eine Zahl wie 73.104 durch 3 teilbar ist, berechnet einfach ihre Quersumme. Die Quersumme von 73.104 ist die Summe ihrer fünf Ziffern - also

7 + 3 + 1 + 0 + 4 = 15

Und wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist, was hier zutrifft, gilt dies auch für die ursprüngliche Zahl.

Im Falle von 73.104 können wir also sagen: Ja, die Zahl ist ohne Rest durch 3 teilbar. Es gilt übrigens 73.104 : 3 = 24.368.

Das Verfahren mit der Quersumme funktioniert bei beliebig großen natürlichen Zahlen. Können Sie erklären, warum dieser Trick immer zum richtigen Ergebnis führt?

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Wie der Trick mit der Quersumme funktioniert, zeigt sich, wenn wir unsere Beispielzahl 73.104 in ihre Bestandteile zerlegen.

Wir benutzen zur Zahlendarstellung bekanntlich das Zehnersystem. Die Ziffern einer Zahl geben an, wie oft die jeweilige Zehnerpotenz darin vorkommt:

73.104 =

7 * 104 +
3 * 103 +
1 * 102 +
0 * 101 +
4 * 100

Zehnerpotenzen wie 102 oder 104 haben eine interessante Eigenschaft. Ziehen wir davon 1 ab, erhalten wir eine Zahl, deren Ziffern ausschließlich Neunen sind:

104 - 1 = 9999
102 - 1 = 99

Das gilt für beliebige Zehnerpotenzen. Wir wissen zugleich, dass eine Zahl, die deren Ziffern sämtlich Neunen sind, auf jeden Fall durch 3 teilbar ist. Das Ergebnis ist eine Zahl, deren Ziffern sämtlich Dreien sind.

Und das ist der entscheidende Punkt: Wir wissen nun, dass jede Zehnerpotenz nicht glatt durch 3 teilbar ist, denn ihr Vorgänger ist ein Vielfaches von 3. Damit wissen wir auch, dass jede Zehnerpotenz beim Teilen durch 3 den Rest 1 lässt.

Wenn wir die Teilbarkeit einer Zahl wie 73.104 untersuchen wollen, zerlegen wir ihre Zehnerpotenzen also einfach in ihren durch 3 teilbaren Teil und die Zahl 1.

73.104 =

7 * (9999 + 1) +
3 * (999 + 1) +
1 * (99 + 1) +
0 * (9 + 1) +
4 * 1

Wir wollen ja nur herausfinden, ob 73.104 durch 3 teilbar ist. Deshalb können wir in einer Summendarstellung wie oben Vielfache von 3 einfach weglassen. Uns interessiert nur, welchen Rest die Zahl beim Teilen durch 3 lässt. Also addieren wir einfach die Reste der fünf Einzelsummen:

Rest (73.104 beim Teilen durch 3) =

7 * 1 +
3 * 1 +
1 * 1 +
0 * 1 +
4 * 1

Und dies ist genau die Quersumme von 73.104 - und ihr Wert beträgt 15. Weil 15 durch 3 teilbar ist, muss das auch für 73.104 gelten.

Wahrscheinlich ist Ihnen aufgefallen, dass der Quersummentrick nicht nur für die 3, sondern analog auch für die 9 funktioniert. Denn eine Zahl, die ausschließlich aus Neunen besteht, ist nicht nur durch 3, sondern auch durch 9 teilbar.

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Dambeck, Holger

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