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Rätsel der Woche Die unendliche Potenz

Die Unbekannte X taucht unendlich oft auf der linken Seite einer Gleichung auf – und das Ergebnis lautet 2. Wie groß ist X?
Foto: Michael Niestedt / DER SPIEGEL

Das Rechnen mit Unbekannten gehört zu den grundlegenden Techniken in der Mathematik. Profis haben es oft mit sehr vielen Unbekannten zu tun – etwa bei der Berechnung des Rankings von Webseiten. Und die Lösungen finden sie dann meist nur noch mit Computerhilfe.

Beim neuen Rätsel gibt es nur eine einzige Unbekannte. Doch die Situation ist trotzdem ziemlich vertrackt. Die Unbekannte X taucht in der Gleichung nämlich unendlich oft auf – siehe Gleichung im Bild oben.

Wie groß muss X sein, damit die Gleichung stimmt?

Hinweis: Beachten Sie beim Potenzieren auf die richtige Platzierung der Klammern. Auf der linken Seite der Gleichung steht nicht ((((X^X)^X)^X)^X)..., sondern X^(X^(X^(X^(....

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

X ist die Quadratwurzel aus 2. Also X = 1,4142...

Die Lösung X= Wurzel(2) zu finden, ist gar nicht so kompliziert, wie es zunächst erscheint. Wir können die gegebene Gleichung nämlich in sich selbst einsetzen und sie auf diese Weise nach X auflösen.

Die Zahl X auf der linken Seite hat einen Exponenten. Dieser Exponent entspricht exakt dem gesamten Ausdruck auf der linken Seite der gegebenen Gleichung. In beiden Fällen wiederholt sich der Exponent X unendlich oft.

Der Ausdruck auf der linken Seite entspricht 2. Also muss gelten:

X2 = 2

Damit ist klar, dass X der Wurzel aus 2 entsprechen muss.

Ergänzung: Mehrere Leserinnen und Leser haben darauf hingewiesen, dass die angegebene Lösung so nicht stimmen könne. Ein verbreiteter Fehler dabei sind falsch gesetzte Klammern beim Potenzieren. Wer auf der linken Seite der Gleichung statt mit X^(X^(X^(X^.... mit ((((X^X)^X)^X)^X)... rechnet, kommt auf einen divergierenden Term. Dieser wird für X = Wurzel(2) sehr schnell sehr groß und läuft gegen unendlich. Potenziert man richtig, passiert dies nicht.

Das Rätsel enthält jedoch noch eine weitere Schwierigkeit, die mir beim Formulieren von Aufgabe und Lösung auch nicht klar war. Hinter dem auf den ersten Blick elegant lösbaren Problem steckt anspruchsvolle Mathematik, die Stoff in den ersten Semestern des Mathematikstudiums ist. Die Gleichung

X^X^X^X^... = a

ist nämlich nur lösbar, solange a zwischen 1/e und e liegt, wobei e die Eulersche Zahl e = 2,71828... ist. Es gibt zu diesem sogenannten Potenzturm  auch einen eigenen Wikipedia-Eintrag . Zwar kann man auch für a=3 oder a=4 eine vermeintliche Lösung auf dem oben beschriebenen Weg finden, doch diese ist falsch, weil der Lösungsweg voraussetzt, dass eine Lösung existiert. Vielen Dank an den Leser Johannes Herbert für die ergänzenden Hinweise zur Lösung!

Entdeckt habe ich diese Aufgabe im Mathe-Adventskalender der Website mathigon.org . Falls Sie vor Weihnachten noch mehr Knobelaufgaben suchen, dann kann ich Ihnen außerdem die digitalen Kalender von Mathe im Advent  und Physik im Advent  empfehlen.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten zehn Folgen:

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Dambeck, Holger

Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)

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