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Rätsel der Woche Ein Dreieck, so groß wie die Erde

Die drei Höhen eines Dreiecks sind zusammen kleiner als ein Millimeter. Ist es möglich, dass die Fläche eines solchen Dreiecks genauso groß ist wie die Oberfläche der gesamten Erde?
Foto:

DER SPIEGEL

Die Erde ist ziemlich groß. Der Durchmesser beträgt fast 13.000 Kilometer, der Äquator misst etwas mehr als 40.000 Kilometer.

Ihre Aufgabe ist es, ein Dreieck zu finden, dessen Fläche genau der Erdoberfläche entspricht – also 510.000.000 Quadratkilometern.

Das wäre eine nicht allzu schwere Aufgabe, gäbe es nicht noch die folgende zusätzliche Anforderung an das Dreieck: Es soll nirgends höher sein als ein Millimeter. Seine drei Höhen, also der senkrechte Abstand der Eckpunkte zur jeweils gegenüberliegenden Seite, dürfen in Summe also nicht größer sein als ein Millimeter.

Kann ein solches Dreieck existieren?

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Ja, es gibt Dreiecke, welche die Bedingungen der Aufgabe erfüllen.

Am einfachsten erscheint mir die Lösung mit einem gleichschenkligen Dreieck. Folgende Skizze zeigt ein solches Dreieck mit blauen Seiten. Eingezeichnet sind zudem die Höhen h1 und h2. Die Höhe h3 rechts habe ich weggelassen, weil sie genauso lang ist wie h2.

Foto: DER SPIEGEL

Es muss dann gelten:

h1 + h2 + h3 = h1 + 2h2 < 1 mm

Wie wir der Skizze entnehmen können, gilt zudem:

2h1 > h2

Denn 2h1 ist die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen eine Kathete h2 entspricht - und Katheten sind immer kleiner als die Hypotenuse. Wir wissen daher, dass gelten muss:

h1 + 2h2 < h1 + 2*2h1 = 5h1

5h1 ist also auf jeden Fall größer als die Summe der drei Höhen h1 + h2 + h3 unseres Dreiecks. Wählen wir h1 = 0,2 mm, erfüllt unser gleichschenkliges Dreieck deshalb auf jeden Fall die Bedingung der Aufgabe.

Wie breit aber muss das gleichschenklige Dreieck an seiner Basis b sein? Sehr, sehr breit. Die Flächenformel für unser Dreieck lautet:

A = b*h1/2

Wir setzen für A die Erdoberfläche ein und für h1 den Wert von 0,5 mm:

510 * 106 km2 = b * 0,1 mm

Die Lösung lautet:

b = 5,1 * 1015 km

Es handelt sich um ein sehr ungewöhnliches Dreieck, denn seine Basis ist rund 540 Lichtjahre lang. Zum Vergleich: Der Stern Beteigeuze im Sternbild Orion ist etwa 600 Lichtjahre von der Erde entfernt.

Diese Aufgabe stammt von dem vietnamesischen Mathematiker Trần Phương. Entdeckt habe ich bei Alex Bellos's Monday puzzle .

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Korrektur: In der früheren Version dieses Textes war die Längenangabe der Basis des Dreiecks in der Einheit Lichtjahren falsch. Sie beträgt 540 Lichtjahre und nicht 470 Millionen Lichtjahre.

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