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Rätsel der Woche Ein verblüffender Kartentrick

Bert wählt von fünf Spielkarten eine aus und gibt Britta die anderen vier Karten. Die weiß sofort, welche Karte sich Bert ausgesucht hat. Warum?
Foto: Michael Niestedt / DER SPIEGEL

Zaubereien mit Spielkarten erfordern entweder herausragende Fingerfertigkeiten - oder raffinierte Mathematik. Der hier beschriebene Trick fällt natürlich in die zweite Kategorie.

Sie sitzen mit Britta und Bert an einem Tisch. Die beiden haben sich einen Kartentrick ausgedacht, den sie vorführen möchten. Sie nutzen dafür ein Skatspiel mit 32 Karten. Es ist ein französisches Blatt mit Kreuz, Pik, Herz und Karo und den Kartenwerten von Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame, König, Ass.

Die Karten werden gemischt, und Sie ziehen zufällig fünf Karten, die Sie Bert geben. Der schaut sich die Karten an, sucht sich eine davon aus und legt diese mit der Rückseite nach oben auf den Tisch.

Die anderen vier Karten gibt er Britta. Sie kennt die von Bert gewählte Karte nicht und schaut sich die vier Karten an, die sie von ihm bekommen hat. Britta überlegt kurz und nennt dann die Karte, die Bert sich ausgesucht hat.

Sie drehen die Karte um - und tatsächlich, Britta hatte recht. Durchschauen Sie diesen Trick?    

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Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Ganz offensichtlich transportiert Bert über die vier Karten, die er Britta gibt, Informationen. Britta kann daraus ableiten, welche Karte er für sich behalten hat.

Es gibt 32 verschiedene Karten. Wenn wir uns vorstellen, dass die Karten von 1 bis 32 durchnummeriert sind (von Kreuz Sieben = 1, Kreuz Acht = 2, … bis zu Karo Ass = 32), könnte Bert versuchen, mit den vier Karten, die er weitergibt, diese 32 verschiedenen Kartennummern zu codieren. 

Er könnte dazu die vier Karten, die er Britta gibt, in eine bestimmte Reihenfolge bringen.

Dazu muss er die vier Karten zunächst im Kopf der Rangfolge nach sortieren, die sich aus der beschriebenen Nummerierung von 1 bis 32 ergibt.

Die Karte mit der niedrigsten Nummer heißt A, die mit der zweitniedrigsten B, die mit der drittniedrigsten C und die Karte mit der höchsten Nummer heißt D.

Kann Bert über die Sortierung der vier Karten die Nummer der fünften Karte codieren? Folgende Tabelle zeigt seine Möglichkeiten:

Wir sehen: Mit vier Karten lassen sich auf diese Weise nur 24 Zahlen codieren - zu wenig, denn der Stapel umfasst 32 Karten. Selbst wenn wir die vier Karten davon abziehen, die Britta bekommt, reicht das nicht.

Bert und Britta müssen daher noch etwas raffinierter vorgegangen sein. Zum Beispiel wie folgt:

Es gibt vier Farbwerte von Kreuz bis Karo. Unter den fünf Karten finden sich deshalb immer mindestens zwei mit demselben Farbwert - beispielsweise zweimal Kreuz. Bert sucht sich also zwei Karten mit demselben Farbwert aus, zum Beispiel Kreuz-Acht und Kreuzkönig.

Es gibt von einem Farbwert nur acht Karten. Stellen wir uns vor, die Karten bilden sortiert nach ihrer Reihenfolge einen Kreis. Neben der Sieben liegt im Uhrzeigersinn die Acht, dann folgt die Neun und so weiter bis zum Ass. Und auf das Ass folgt wieder die Sieben - sie liegen im Kreis direkt nebeneinander. Genau wie die 12 und die 1 auf dem Ziffernblatt einer Uhr.  

Zwei beliebige Karten in diesem Kreis haben einen Abstand von höchstens vier Karten. Die Kreuz-Acht aus unserem Beispiel liegt im Uhrzeigersinn drei Karten neben dem Kreuz König.  

Bert nimmt dann die Karte, die im Uhrzeigersinn vor der zweiten Karte liegt - also den Kreuzkönig. Diese Karte ist die erste von vier Karten, die er Britta gibt. Die zweite der beiden Karten, hier also die Kreuz-Acht, ist die Karte, die Bert behält.

An der ersten Karte im Stapel der vier Karten, die Bert weitergibt, kann Britta sofort sehen, welchen Farbwert die Karte hat, die Bert behalten hat: Kreuz.

Nun hat Bert noch drei Karten, mit denen er den Abstand der beiden gewählten Karten codieren kann. Der Abstand kann höchstens vier betragen. In unserem Beispiel von König und Acht ist der Abstand drei.

Beim Kodieren des Abstands der Karten geht Bert wie oben bereits beschrieben vor. Er sortiert die drei Karten im Kopf nach ihrer Nummer. Die Karte mit der kleinsten Nummer ist A, die mit der mittleren Nummer ist B und die Karte mit der größten Nummer ist C.

Mit drei Karten kann Bert sechs verschiedene Werte codieren - zwei mehr als eigentlich nötig:

Britta erkennt also aus der ersten Karte den Farbwert und aus der Reihenfolge der drei anderen Karten den Abstand der von Bert gewählten Karte zur ersten Karte. Eigentlich gar nicht so schwer, oder?

Dieser sehr schöne Kartentrick geht auf den Mathematiker William Fitch Cheney zurück . 2003 erschien im Magazin "Math Horizons" ein längerer Artikel  darüber. Gestoßen bin ich auf den Trick im 2004 erschienenen Buch "Mathematische Rätsel für Liebhaber" von Peter Winkler.

Ergänzung: Zwei Leser haben mir alternative Lösungen vorgeschlagen. Man könnte die Orientierung der Karten nutzen, um zusätzliche Informationen zu kodieren. Ob zum Beispiel ein Ass richtig herum im Vierer-Stapel steckt oder auf dem Kopf steht. Doch nicht alle Karten haben eine Richtung, manche, je nach Kartenspiel auch alle, sind rotationssymmetrisch. Alternativ könnte man aber zur zusätzlichen Kodierung auch die Karten mit der Vorder- oder Rückseite nach oben in den Stapel der vier Karten stecken. Damit wären deutlich mehr Konstellationen möglich. Allerdings würde dies den Kartentrick auch weniger rätselhaft aussehen lassen.

Eine andere Lösung funktioniert sogar mit nur vier Karten, von denen drei weitergeben werden. Die vierte einbehaltene Karte wird dabei trotzdem zur Kodierung genutzt. Bert würde sie nämlich vor den Augen von Britta aus dem zuvor sorgfältig präparierten Stapel der vier Karten ziehen, wobei Britta zwar nur die Rückseite der Karte sieht, sich aber die Position im Viererstapel merkt (ganz vorn, zwischen eins und zwei, zwischen zwei und drei, ganz hinten).

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