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Rätsel der Woche Eine Karte macht den Unterschied

Aliya hat einen Stapel durchnummerierter Karten und ordnet sie so an, dass aufeinanderfolgende Karten keine identischen Ziffern haben. Beatrix versucht das mit einer Karte weniger – aber sie schafft es nicht. Warum?
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DER SPIEGEL

Die beiden Freundinnen Alija und Beatrix bekommen je einen Stapel Karten. Jede der beiden Frauen nummeriert ihre Karten fortlaufend durch – beginnend mit 1 bei der ersten Karte. Danach versucht jede von ihnen, die eigenen Karten so in einer Reihe anzuordnen, dass benachbarte Karten keine identischen Ziffern haben. Neben der 21 darf zum Beispiel weder die 12 noch die 15 liegen.

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Aliya hat kein Problem mit der Sortierung ihrer n Karten. Beatrix hingegen schafft es nicht – sie hat allerdings auch eine Karte weniger als Aliyah – also n-1 Karten.

Finden Sie die kleinstmögliche Kartenzahl n, bei der dieses Phänomen auftritt!

Die kleinstmögliche Zahl für n ist 23. Aliya hat 23 Karten – damit gelingt die gewünschte Sortierung. Mit den 22 Karten von Beatrix hingegen ist keine Lösung möglich.

Bei den einstelligen Nummern von 1 bis 9 (Fall n<10) gibt es keinerlei Schwierigkeiten, diese anzuordnen. Die Probleme beginnen, wenn n zweistellig wird. Schauen wir uns zunächst den Fall n=19 an:

Die Zahlen 1 sowie 10 bis 19 enthalten sämtlich die Ziffer 1. Das sind insgesamt 11 Zahlen, von denen keine nebeneinander liegen dürfen, weil sie alle die Ziffer 1 enthalten. Da alle 11 Karten in der Reihe auftauchen – aber nicht unmittelbar benachbart, müssen in die 10 Lücken zwischen den 11 Karten andere Karten gelegt werden, bei denen die Ziffer 1 nicht vorkommt.

Bei insgesamt 19 Karten stehen die Karten von 2 bis 9, also 8 Karten als Lückenfüller zur Verfügung. Das reicht aber nicht, wir müssen bekanntlich 10 Lücken füllen. Für n=19 lässt sich das Problem deshalb nicht lösen. Übrigens, auch nicht für n=18, dafür aber für n=17 und kleinere Zahlen.

Also erhöhen wir die Zahl der Karten über n=19 hinaus und schauen was passiert.

Bei 20 Karten müssen weiterhin 10 Lücken zwischen 1, 10, 11, 12, ..., 19 gefüllt werden, zur Verfügung stehen dafür aber mit 2 bis 9 und 20 insgesamt nur 9 Karten. Eine zu wenig.

Im Falle n=21 kommt eine weitere Karte mit der Ziffer 1 hinzu. Es gibt dann zwischen den 12 Zahlen 1, 10, 11, ... 19, 21 insgesamt 11 Lücken. Weiterhin haben wir nur 9 Karten als Lückenfüller – zwei zu wenig.

Bei n=22 fehlt immer noch eine Karte, um alle 11 Lücken zu füllen. Mit 23 Karten aber haben wir zumindest theoretisch genug Karten: 2 bis 9, 20, 22, 23 – das sind zusammen 11 Karten für 11 Lücken.

Dass im Fall n=23 tatsächlich Lösungen existieren, zeigt folgendes Beispiel:

1, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 9, 16, 20, 17, 22, 18, 23, 19, 8, 21

Damit haben wir mit n=23 die kleinstmögliche Zahl gefunden, mit der Aliya die Karten wie gewünscht anordnen kann – Beatrix mit einer Karte weniger jedoch nicht.

Entdeckt habe ich dieses Rätsel im Buch »The Bogota Puzzles« von Bernardo Recamàn.

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