In Kooperation mit

Job & Karriere

Rätsel der Woche Eine Münze - drei Treffer

Max und Maja werfen immer wieder eine Münze. Max gewinnt, sobald das Ergebnis dreimal hintereinander Zahl lautet. Maja gewinnt bei Kopf-Zahl-Zahl. Wer hat die besseren Chancen?
Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Kopf oder Zahl - beim Werfen einer Münze gibt es genau zwei Ergebnisse. Wirft man die Münze jedoch mehrmals nacheinander, wird es mathematisch interessanter.

Max fordert Maja zu einem Spiel mit einer Münze heraus: "Wir werfen sie immer wieder aufs Neue. Sobald dreimal hintereinander die Zahl-Seite oben liegt, habe ich gewonnen."

"Und wann gewinne ich?", fragt Maja.

"Such dir auch eine Sequenz aus drei aufeinanderfolgenden Ergebnissen", sagt Max. "Du kannst dabei frei aus Kopf und Zahl wählen. Wenn deine Sequenz vor meiner auftaucht, hast du gewonnen."

Maja überlegt eine Weile und nennt dann ihre Folge: "Kopf-Zahl-Zahl".

Hat sie damit wirklich bessere Gewinnchancen als Max?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Maja das Spiel mit dieser Sequenz gewinnt?

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Maja gewinnt das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/8. Sie verliert nur dann, wenn bei den ersten drei Würfen dreimal Zahl fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist (1/2)3 = 1/8.

Wenn die beiden immer wieder die Münze werfen und das Ergebnis notieren, entsteht eine Folge aus den beiden Möglichkeiten Kopf oder Zahl - zum Beispiel bei fünf Würfen die Folge Kopf-Zahl-Kopf-Kopf-Zahl.

Wir suchen nun in dieser - theoretisch unendlichen - Folge die Stelle, an der zum ersten Mal die Sequenz Zahl-Zahl-Zahl auftaucht.

Wenn dies gleich zu Beginn der Folge passiert ist, hat Max gewonnen. Die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht der Wahrscheinlichkeit für dreimal Zahl hintereinander und ist (1/2)3 = 1/8.

Die erstmals auftauchende Folge aus dreimal Zahl wird jedoch in der Regel nicht am Beginn der Folge liegen, sondern an Positionen weiter hinten. Wir gehen zu dieser erstmals in der Folge auftretenden Sequenz Zahl - Zahl - Zahl und schauen auf das Ergebnis des Münzwurfs unmittelbar davor. Dieses muss zwingend Kopf sein.

Denn wäre es Zahl, hätten wir ja gar nicht die zuerst auftretende Sequenz Zahl-Zahl-Zahl gewählt, denn vor Zahl-Zahl-Zahl stünde noch einmal Zahl. Es gäbe also eine Sequenz aus viermal Zahl, die einen Wurf vor der Sequenz aus dreimal Zahl beginnt. Und damit eine Sequenz aus dreimal Zahl, die einen Wurf vor der Sequenz aus dreimal Zahl beginnt. Das kann jedoch nicht sein, weil wir ja die erstmals in der Folge auftretende Sequenz aus dreimal Zahl gewählt haben.

Damit steht fest: Entweder beginnt die Folge mit dreimal Zahl und Max gewinnt. Oder aber die Sequenz aus dreimal Zahl taucht weiter hinten in der Folge erstmals auf - und dann steht zwingend an der Position davor in der Folge das Ergebnis Kopf. Die Sequenz ab dieser Position lautet dann Kopf-Zahl-Zahl-Zahl - und damit gewinnt Maja auf jeden Fall. Denn ihre Sequenz lautet Kopf-Zahl-Zahl.

Die Wahrscheinlichkeit für dreimal Zahl zu Beginn ist 1/8. Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Maja 1 - 1/8 = 7/8.

Übrigens gewinnt Maja das Spiel in vielen Fällen schneller als oben beschrieben, weil ihre Sequenz meist schon viel früher in der Folge auftritt. Wir müssen in der Folge nämlich nur nach der erstmals auftauchenden Sequenz Zahl-Zahl suchen. Unmittelbar davor muss Kopf sein - außer die Münzfolge beginnt mit Zahl-Zahl.

Entdeckt habe ich dieses hübsche Rätsel auf der Webseite des Mathematikums Gießen .

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - hier sind die jüngsten zehn Folgen:

Anzeige
Dambeck, Holger

Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)

Verlag: KiWi-Taschenbuch
Seitenzahl: 240
Für 9,99 € kaufen

Preisabfragezeitpunkt

06.10.2022 11.05 Uhr

Keine Gewähr

Produktbesprechungen erfolgen rein redaktionell und unabhängig. Über die sogenannten Affiliate-Links oben erhalten wir beim Kauf in der Regel eine Provision vom Händler. Mehr Informationen dazu hier
Die Wiedergabe wurde unterbrochen.