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Rätsel der Woche Fairness am Kaffeetisch

Die gerechte Aufteilung einer Torte sorgt immer wieder für Streit. Gibt es ein Verfahren, das Neid und Missgunst verhindert?
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DER SPIEGEL

Unter Mathematikern wird selbst die Kaffeepause zu einer intellektuellen Herausforderung. Sie treffen sich am Nachmittag im Büro der Professorin – die hat eine große Torte mitgebracht. Es versteht sich von selbst, dass die Anwesenden die Torte fair unter sich aufteilen möchten.

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05.02.2023 06.51 Uhr

Keine Gewähr

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Geht es nur um zwei oder vier Personen, ist eine gerechte Aufteilung noch vergleichsweise leicht. Wie aber kann das Zerschneiden der Torte für eine beliebige Personenzahl n gelingen, sodass sich hinterher niemand beschweren kann, dass er oder sie über den Tisch gezogen wurde?

Lösen Sie die Aufgabe am besten zunächst für den einfachen Fall n = 2.

Bei zwei Personen ist die Sache einfach: Person eins zerschneidet die Torte in zwei Hälften. Person zwei darf sich dann ihre Hälfte aussuchen, die andere geht an Person eins.

Der Clou besteht darin, dass Person eins sich darum bemüht, dass beide Hälften tatsächlich gleich groß sind. Wäre eine größer als die andere, könnte die zweite Person das erkennen und diese Hälfte wählen.

Nun zum allgemeinen Fall mit n Personen. Es gibt sicher nicht nur die eine Strategie. Die Folgende finde ich ziemlich raffiniert.

Die erste Person schneidet ein Stück ab, von dem sie glaubt, dass es 1/n der gesamten Torte groß ist. Nun darf Person zwei das abgeschnittene Stück begutachten. Ist sie der Meinung, dass es größer als 1/n ist, darf sie davon noch ein Stückchen abschneiden.

Ganz gleich, ob Person zwei etwas abschneidet oder nicht – nach ihr ist Person drei dran. Auch sie begutachtet das Stück und darf etwas davon abschneiden, muss das aber nicht tun. So kommt eine Person nach der anderen dran bis zur letzten Person mit der Nummer n.

Das Stück, das Person eins abgeschnitten hat und danach eventuell von einer oder mehreren anderen Personen weiter beschnitten wurde, geht schließlich an die Person, die zuletzt etwas davon abgeschnitten hat. Das kann Person eins sein, falls niemand sonst zum Messer gegriffen hat – oder eine der anderen Personen neben ihr am Tisch.

Dieses Verfahren wird so oft wiederholt, bis der Kuchen völlig aufgeteilt ist. Es stellt sicher, dass jede Person ein Stück bekommt, das nach Einschätzung derjenigen, die selbst noch kein Stück bekommen haben, nicht größer als 1/n ist. Tatsächlich könnte eine oder könnten mehrere Personen ein Stück bekommen, das größer ist. Aber die übrigen Personen hatten die Chance, dies zu verhindern.

Entdeckt habe ich dieses raffinierte Rätsel im Buch »My Best Mathematical and Logicial Puzzles« von Martin Gardner.

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