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Rätsel der Woche Freunde der 11 sollt ihr sein

Ein einfacher Trick verrät, ob eine Zahl durch 11 teilbar ist. Man setzt abwechselnd Minus- und Pluszeichen zwischen die Ziffern der Zahl. Warum klappt das?
Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Ich habe einige Zuschriften zum Taschenrechner-Rätsel aus der vergangenen Woche bekommen. Darin ging es um den Trick, ein 2x2 Tasten großes Quadrat auf der Tastatur eines Taschenrechners zu tippen. Die so entstehende Zahl ist immer durch 11 teilbar.

Mehrere Leser wiesen mich darauf hin, dass der Trick auch mit einem 3x3 Tasten großen Quadrat klappt - und sogar mit dem auf der Spitze stehenden Quadrat mit den Ecken 8, 6, 2, 4. Das stimmt - vielen Dank!

Der Taschenrechner-Trick war nicht ganz so leicht zu durchschauen, Denn man musste wissen, woran man eine durch 11 teilbare Zahl erkennt: an der sogenannten alternierenden Quersumme. Ist diese Zahl durch 11 teilbar, trifft das auch für die Zahl selbst zu.

Bei der alternierenden Quersumme wechseln Sie von Ziffer zu Ziffer immer die Vorzeichen Plus und Minus. Dabei ist es übrigens auch egal, ob Sie bei der ersten Ziffer mit Plus anfangen oder mit Minus.

Nehmen wir die Beispielzahl 9251: Als Quersumme erhalten wir:  

+ 9 - 2 + 5 - 1 = 11

Die Quersumme ist durch 11 teilbar, weshalb das auch für 9251 gilt.

Sie sollen nun herausfinden, warum die Methode mit der alternierenden Quersumme funktioniert. Haben Sie eine Idee?

Falls nicht: Inspirationen könnte Ihnen dieses Rätsel liefern, in dem es um die Teilbarkeit von natürlichen Zahle durch 3 ging.

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Die Lösung ist eigentlich ganz einfach - auch wenn ihnen die folgende kurze Erklärung zunächst wenig schleierhaft vorkommen dürfte: Alle geradzahligen Potenzen von 10, zum Beispiel 102 = 100, lassen beim Teilen durch 11 den Rest 1. Alle ungeradzahligen Zehnerpotenzen haben einen Rest von -1.

Und weil sich in einer mehrstelligen natürlichen Zahl die Stellen mit gerader und ungerader Zehnerpotenz immer abwechseln, können wir mit der alternierenden Quersumme den Rest beim Dividieren durch 11 berechnen.

Nun das Ganze etwas ausführlicher: Wenn wir die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl untersuchen wollen, können wir sie auch in mehrere Komponenten zerlegen und die Teilbarkeit dieser Komponenten einzeln analysieren.

Wir zerlegen die Zahlen in Zehnerpotenzen. Beispiel 9251: Diese Zahl entspricht der Summe

9*103 + 2*102 + 5*101 + 1*100

Wenn ich die Reste der Zehnerpotenzen 103, 102, 101, 100 beim Teilen durch 11 kenne, muss ich diese Reste nur noch mit den jeweiligen Ziffern multiplizieren - bei 103 ist das die Ziffer 9 - alles addieren und habe den Rest von 9251 beim Teilen durch 11 berechnet.

Beginnen wir mit 102 = 100. Also einer Zehnerpotenz mit geradzahligem Exponenten. Welchen Rest lässt 100 beim Teilen durch 11?

Das ist ziemlich einfach: 1. Denn wenn wir von 100 die Zahl 1 abziehen, erhalten wir 99. Und: 99 = 11*9.

Wie sieht es bei größeren Zehnerpotenzen mit geradem Exponenten aus? Zum Beispiel 104 oder 106? Diese Potenzen entstehen, wenn ich 102 einmal oder zweimal mit 100 (=102) multipliziere.

Den Rest von 102 beim Teilen durch 11 kennen wir schon - er ist 1. Wie groß ist dann der Rest von 102 * 100 beim Teilen durch 11?

Das ist leicht zu erkennen, wenn wir den Faktor 100 in (99 + 1) zerlegen:

Rest(102 * 100) = Rest(102 * (99 +1))

Weil 99 ein Vielfaches von 11 ist, können wir die 99 in der Klammer einfach weglassen. Denn wenn ich eine beliebige Zahl mit einem Vielfachen von 11 multipliziere, hat das Ergebnis beim Teilen durch 11 immer den Rest 0.

Rest(102 * 100) = Rest(102)

Das gilt sogar allgemein für jede natürliche Zahl a beim Teilen durch 11:

Rest(a * 100) = Rest(a)

Damit ist klar, dass alle geradzahligen Zehnerpotenzen beim Teilen durch 11 den Rest 1 haben, denn sie entstehen durch ein- oder mehrfaches Multiplizieren von 100 beziehungsweise 102 mit der Zahl 100.

Wir müssen uns nun noch anschauen, welchen Rest ungeradzahlige Potenzen von 10 beim Teilen durch 11 haben. Beginnen wir mit 101 = 10. Diese Zahl hat den Rest 10 beim Teilen durch 11. Man könnte statt 10 aber auch als Rest -1 schreiben. Denn bei der 10 fehlt ja genau eine 1, um auf eine durch 11 teilbare Zahl zu kommen.

Nun können wir die eben bewiesene Regel, Rest (a * 100) = Rest(a), nutzen, um den Rest für alle ungeradzahligen Potenzen von 10 zu berechnen. Diese beträgt immer -1, denn ungeradzahligen Potenzen von 10 entstehen durch ein- oder mehrfaches Multiplizieren von 101 mit der Zahl 100.

Fassen wir zusammen: Geradzahlige Zehnerpotenzen haben den Rest 1 beim Teilen durch 11, ungeradzahlige den Rest -1.

Wenn 103 den Rest -1 hat, hat das Produkt 9*103 den Rest -9. Damit ist klar, dass die alternierende Quersumme den Rest bei der Division einer Zahl durch 11 angibt.

Was aber machen wir mit den Vorzeichen? Wenn wir beispielsweise den Rest von 8246 exakt berechnen wollen, lautet die Quersumme:

-8 +2 -4 +6 = -4

(Denn 103 hat einen ungeraden Exponenten - der Rest ist -1)

Wenn wir die alternierende Quersumme stattdessen mit + beginnen, erhalten wir:

+8 -2 +4 -6 = +4

Die Reste von 4 und -4 beim Teilen durch 11 sind nicht identisch. Ein Rest von -4 entspricht schließlich dem Rest 7. Also müssen wir genau aufpassen, mit welchem Vorzeichen die alternierende Quersumme beginnt, wenn wir den Rest beim Teilen durch 11 berechnen wollen.

Sofern wir aber allein wissen möchten, ob eine Zahl durch 11 teilbar ist oder nicht, ist die Wahl des ersten Vorzeichens egal. Dann zählt allein, ob das Ergebnis ein ganzzahliges Vielfaches von 11 ist - also beispielsweise 11, -11, 22 oder -22.

Eine frühere Version dieses Textes enthielt als Beispiel eine nicht durch 11 teilbare Zahl. Der Fehler ist nun korrigiert. Wir bitten ihn zu entschuldigen.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - hier sind die jüngsten zehn Folgen:

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Dambeck, Holger

Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)

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