Rätsel der Woche Ein Eimer bleibt leer
DER SPIEGEL
Auf dem Boden stehen fünf Eimer. Fünf Personen dürfen je einen Ball in einen der Eimer werfen. Die Auswahl des Eimers ist zufällig – sie hängt auch nicht davon ab, ob ein Eimer leer ist oder sich darin bereits mindestens ein Ball befindet.
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08.06.2023 13.31 Uhr
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Verteilen der fünf Bälle exakt einer der fünf Eimer leer ist?
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1200/3125 = 0,38...
Insgesamt sind 55 = 3125 verschiedene Verteilungen möglich, denn jeder der fünf Bälle kann in einem der fünf Eimer landen.
Wenn in jedem Eimer genau ein Ball sein soll, gibt es 5*4*3*2*1 Möglichkeiten. Warum? Stellen wir uns vor, die Bälle werden nacheinander eingeworfen. Die erste Person hat fünf Eimer zur Auswahl. Person 2 nur noch vier, denn ein Eimer ist schon belegt. Person 3 hat drei, Person 2 zwei Möglichkeiten und die letzte Person nur noch eine. So entsteht das Produkt 5*4*3*2*1, das Mathematiker als Fakultät von 5 bezeichnen. 5! lautet die mathematische Notation.
In einem Eimer müssen sich jedoch zwei Bälle befinden und in drei weiteren je einer, damit genau ein Eimer leer ist. Vier Personen werfen also einen Ball in einen zuvor noch leeren Eimer. Für die vier Personen ergeben sich analog zum Beispiel oben 5*4*3*2 verschiedene Verteilungen.
Eine Person erwischt einen Eimer, in dem es bereits einen Ball gibt. Dies kann nicht die Person sein, die den ersten Ball in einen Eimer wirft, aber jede der vier folgenden Personen. Person 2 hat genau eine Option, den Ball in einen Eimer zu legen, in dem sich bereits ein Ball befindet. Person 3 hat zwei Möglichkeiten, Person 4 drei und Person 5 vier.
Daraus ergibt sich folgende Gesamtzahl an Verteilungen:
Z = 5*4*3*2 * (1+2+3+4)
Z = 120*10
Z = 1200
Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb 1200/3125.
Entdeckt habe ich dieses Rätsel auf dem Portal Mathigon .
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
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