Rätsel der Woche Gewichte optimieren
DER SPIEGEL
Im Alltag begegnen uns Balkenwaagen nur noch selten. Ihre Besonderheit ist, dass man zum Abwiegen mehrere Gewichte braucht. Beispielsweise 250 Gramm, 500 Gramm und ein Kilogramm. Diese müssen dann solange ausgewählt und platziert werden, bis sich die Waage im Gleichgewicht befindet.
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Wir möchten mit einer solchen Balkenwaage jedes ganzzahlige Gewicht von 1 bis 40 Kilogramm abmessen. Dafür brauchen wir mehrere Gewichte. Was ist die kleinstmögliche Anzahl?
Es genügen vier Gewichte. Ihre Massen betragen 1, 3, 9 und 27 Kilogramm.
Meine erste Idee war, es mit Gewichten zu versuchen, bei denen sich die Masse von Gewicht zu Gewicht verdoppelt. Beginnend bei einem Kilogramm benötigt man dann sechs Gewichte – und zwar 1, 2, 4, 8, 16, 32 Kilogramm. Mit diesen sechs Gewichten komme ich sogar über 40 hinaus, es ist jede Zahl zwischen 1 und 63 darstellbar. Ich muss nur die passenden Gewichte auswählen und in eine Waagschale legen. Zum Beispiel 1, 2 und 8 für 11 Kilogramm.
Aber das ist noch nicht die gesuchte Lösung. Denn die Gewichte müssen ja nicht zwingend in nur einer Schale liegen, es können auch beide genutzt werden. Dadurch ist es möglich, von einem größeren Gewicht ein kleineres abzuziehen. Somit addieren und subtrahieren wir und kommen mit insgesamt weniger Gewichten aus.
Statt Zweierpotenzen nutzen wir Dreierpotenzen. Und zwar 1, 3, 9 und 27 Kilogramm. Mit 1, 3 und 9 Kilogramm ist jede ganzzahlige Masse von 1 bis 13 Kilogramm darstellbar, wie folgende Tabelle zeigt:
Wenn wir mit 1, 3 und 9 jede Zahl zwischen 1 und 13 darstellen können, kommen wir mit 1, 3, 9 und 27 von 1 bis 40. Wie geht das?
Erst subtrahieren wir von 27 jede Zahl von 1 bis 13 und erhalten so alle Zahlen von 14 bis 26. Dann addieren wir zu 27 jede Zahl von 1 bis 13, sodass wir bis zur 40 kommen.
Wir wissen nun, dass es mit vier Gewichten klappt. Aber ist das wirklich die kleinstmögliche Anzahl? Reichen womöglich auch drei Gewichte?
Für jedes der drei Gewichte haben wir drei Möglichkeiten: Entweder legen wir es in die rechte Waagschale, in die linke Waagschale oder in keine von beiden. Es gibt somit 33 = 27 verschiedene Verteilungen. Davon müssen wir eine Verteilung abziehen. Und zwar die, bei der keines der drei Gewichte in einer Schale liegt. Die dann noch 26 Möglichkeiten teilen wir anschließend durch 2, weil zwei Verteilungen, bei denen linke und rechte Waagschale vertauscht sind, sich nicht unterscheiden. Deshalb sind mit drei Gewichten höchstens 13 verschiedene Massen darstellbar.
Vier Gewichte sind also tatsächlich die kleinstmögliche Anzahl. Mehr als 40 verschiedene Zahlen lassen sich damit übrigens nicht darstellen, denn laut obiger Formel gilt für die Zahl der Verteilungen:
(34 - 1)/2 = (81 - 1)/2 = 40
Entdeckt habe ich dieses Rätsel auf der Website medium.com .
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