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Rätsel der Woche Glück und Pech in der Tombola

Die Firma verlost ein schickes Tablet – und außerdem Wein und Handtücher. Die Verteilung der Gewinne überrascht. Was verrät das über die Zahl der Weinflaschen?
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DER SPIEGEL

Die alljährliche Firmentombola ist bei den Angestellten sehr beliebt. Schließlich gibt es keine Nieten – jeder darf einen Preis mit nach Hause nehmen. In diesem Jahr ist der Hauptpreis ein Tablet. Als weitere Preise hat die Personalchefin Handtücher und Wein besorgt.

Die Anzahl der zur Verfügung stehenden Preise entspricht genau der Anzahl der Angestellten. Der Gewinn für jeden Angestellten ist also entweder das Tablet, ein Handtuch oder eine Flasche Wein.

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Alle Angestellten machen bei der Tombola mit, auch wenn sich der eine oder die andere über die Handtücher als Preise echauffiert. Warum gab es nicht Wein für alle Nichtgewinner des Tablets?

Helene zieht das erste Los und hat Glück: Sie gewinnt das Tablet. Ihr Kollege Ahmed zieht das zweite Los und bekommt ein Handtuch. Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Verteilung beträgt 10 Prozent.

Wie viele Weinflaschen wurden verlost?

Nur zwei Weinflaschen wurden verlost.

Die Aufgabe erscheint zunächst kaum lösbar. Doch nach einigen Überlegungen stellt sich heraus, dass die Firma ziemlich klein sein muss und nicht mehr als zehn Angestellte haben kann. Und dass dann nur bestimmte Anzahlen der zu verlosenden Handtücher und Weinflaschen möglich sind, damit die Wahrscheinlichkeit der beschriebenen Konstellation ein Zehntel beträgt.

Beginnen wir mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Helene das Tablet gewinnt und Ahmed ein Handtuch. Wenn n die Zahl der Tombolateilnehmer ist und m die Zahl der Handtücher, gilt folgende Gleichung:

p = 1/10 = 1/n * m/(n-1)

Erklärung: Helene gewinnt das Tablet mit p=1/n. Ahmed gewinnt eines der m Handtücher mit p=m/(n-1), sofern Helene kein Handtuch gewonnen hat.

n muss mindestens vier sein, denn es ist von einem Tablet, Handtüchern im Plural und Wein die Rede – also mindestens einer Flasche. Der Bruch m/(n-1) in der Gleichung oben ist deshalb immer kleiner als 1.

Daraus folgt, dass n kleiner als 10 sein muss. Sonst kann das Produkt 1/n * m/(n-1) nämlich nicht wie gefordert 1/10 sein.

Wir formen die Gleichung 1/10 = 1/n * m/(n-1) so um, dass keine Brüche mehr darin enthalten sind:

n*(n-1) = 10*m

Nun hilft uns die Primzahlzerlegung weiter. Rechts steht als Primfaktor eine 5. Weil n zwischen 4 und 9 liegt, muss n oder n-1 gleich 5 sein, damit auch links der Primfaktor 5 auftaucht. Wir finden zwei verschiedene Lösungen:

n = 5 --> m = 2

n = 6 --> m = 3

n-m-1 ist die Zahl der Weinflaschen. Diese Zahl ist in beiden Fällen 2. Es gibt also nur zwei Weinflaschen und in der Firma arbeiten entweder fünf oder sechs Personen.

Entdeckt habe ich dieses verblüffende Tombolarätsel im Buch »Das neue Haus vom Nikolaus« von Frank Schwellinger.

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