Rätsel der Woche Hund jagt Modelleisenbahn
DER SPIEGEL
Das Weihnachtsgeschenk für Karl fiel in diesem Jahr etwas größer aus: eine Modellbahn für den Garten. Er hat die Bahn natürlich sofort auf seiner riesigen Wiese aufgebaut. Dabei gab es allerdings einige Aufregung bei seinem Hund.
Blind Date mit zwei Unbekannten: 100 neue Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 4)
Preisabfragezeitpunkt
29.03.2023 12.19 Uhr
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Der Zug, bestehend aus Lokomotive und diversen Waggons, hat eine stattliche Länge von 50 Metern. Zu Beginn stehen Karl und der Hund am Ende des Zuges. Als er sich in Bewegung setzt, spielt der Hund verrückt. Er rennt zur Spitze des fahrenden Zuges und kehrt sofort wieder um, um zurück zum Ende des Zuges zu flitzen. Als er dort ankommt, ist der Zug genau 50 Meter gefahren.
Wir nehmen an, dass sich Zug und Hund jeweils mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinig bewegen, weil die Schienen der Gartenbahn über mehr als 100 Meter schnurstracks geradeaus verlaufen. Beide erreichen ihre normale Geschwindigkeit nach dem Start fast augenblicklich – die jeweilige Beschleunigungsphase können wir vernachlässigen.
Welche Strecke hat der Hund zurückgelegt?
Der Hund ist einen Weg von 120,7 Metern gelaufen.
Die Aufgabe verwirrt, weil wir es mit so vielen Unbekannten zu tun haben: Wie weit fährt der Zug, bis der Hund seine Spitze erreicht? Wie schnell ist der Hund? Wie schnell der Zug?
Das Problem lässt sich jedoch ziemlich direkt lösen – mit nur einer einzigen Unbekannten. Wir teilen das Geschehen dazu in zwei Zeitabschnitte ein: zum einen der Zeitraum vom Loslaufen des Hundes und dem gleichzeitigen Starten des Zuges bis zu dem Moment, in dem der Hund die Lok an der Spitze erreicht. Und zum anderen der Zeitraum danach: vom Umkehren des Hundes bis er wieder am Ende des Zuges angekommen ist.
Hund und Zug bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. Deshalb ist das Verhältnis der vom Hund in Zeitraum 1 zurückgelegten Strecke zu seiner Strecke in Zeitraum 2 genauso groß wie das Verhältnis der Strecken, die der Zug in Zeitraum 1 und Zeitraum 2 gefahren ist.
Der Zug fährt im ersten Zeitraum die Strecke x, bis der Hund die Lok erreicht. Der Hund läuft in dieser Zeit die Strecke 50 + x.
In Zeitraum 2 läuft der Hund die Strecke x zurück. Der Zug kommt auf eine Strecke von 50 - x, denn insgesamt legt er in beiden Zeiträumen zusammen 50 Meter zurück. Also gilt:
x/(50 - x) = (50 + x)/x
x2 = 2500 - x2
x2 = 1250
x = 35,35...
Die Gesamtstrecke des Hundes beträgt 50 + 2x = 120,7 Meter.
Entdeckt habe ich diese Aufgabe im Buch »My Best Mathematical Puzzles« von Martin Gardner.
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
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