Rätsel der Woche John Conways Superzahl
DER SPIEGEL
Der britische Mathematiker John Conway liebte Knobeleien. Er entwickelte etwa eine Lösung für den Zauberwürfel und die Doomsday-Methode zur Bestimmung des Wochentages für ein gegebenes Datum. Von Conway stammt auch das folgende Zahlenrätsel: Gesucht ist eine zehnstellige Zahl, die jede der zehn Ziffern von 0 bis 9 genau einmal enthält.
Blind Date mit zwei Unbekannten: 100 neue Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 4)
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10.06.2023 14.03 Uhr
Keine Gewähr
Die Zahl muss folgende Bedingungen erfüllen:
Die aus der ersten Ziffer gebildete Zahl muss durch 1 teilbar sein.
Die aus den ersten zwei Ziffern gebildete Zahl muss durch 2 teilbar sein.
Die aus den ersten drei Ziffern gebildete Zahl muss durch 3 teilbar sein.
Die aus den ersten vier Ziffern gebildete Zahl muss durch 4 teilbar sein.
Und so weiter bis zu den beiden letzten Bedingungen:
Die aus den ersten neun Ziffern gebildete Zahl muss durch 9 teilbar sein.
Die Zahl insgesamt, die zehnstellig ist, muss durch 10 teilbar sein.
Gibt es eine Lösung? Und falls ja, wie viele?
Das Rätsel hat genau eine Lösung: 3.816.547.290
Die Aufgabe lässt sich natürlich mit einem kleinen Computerprogramm lösen – auf stackoverflow werden verschiedene Skripte diskutiert. Doch wir kommen auch ohne Computerhilfe aus, wenn wir mit etwas Geschick die Ihnen hoffentlich bekannten Teilerregeln nutzen.
Position 10
Die letzte Ziffer muss eine 0 sein, damit die Zahl insgesamt durch 10 teilbar ist.
Position 5
Für die fünfte Stelle kommt nur die 5 infrage, damit sich die aus den ersten fünf Ziffern gebildete Zahl durch 5 teilen lässt.
Positionen 2, 4, 6, 8
An diesen Stellen müssen die Ziffern 2, 4, 6, 8 stehen, denn die jeweiligen Zahlen müssen sämtlich gerade sein, damit 2, 4, 6, 8 Teiler sein können.
Positionen 1, 3, 7, 9
Hier bleiben nur noch die Ziffern 1, 3, 7, 9 übrig. An der ersten Stelle kann jede der Zahlen 1, 3, 7, 9 platziert sein, denn jede natürliche Zahl ist durch 1 teilbar. Auch an Position 9 kann jede dieser Ziffern stehen. Warum? Die aus den ersten neun Ziffern gebildete Zahl muss durch 9 teilbar sein. Dies ist immer der Fall, weil die Quersumme der ersten neun Ziffern 45 beträgt und durch 9 teilbar ist.
Positionen 3-4 und 7-8
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Für die Ziffern 3 und 4 kommen daher nur infrage:
12, 16, 32, 36, 72, 76, 92, 96
Dasselbe gilt für die Ziffern 7 und 8. Denn eine durch 8 teilbare Zahl ist auch durch 4 teilbar.
An den Positionen 4 und 8 können nur die Ziffern 2 und 6 stehen.
Positionen 4-6
Die ersten drei Ziffern bilden eine durch 3 teilbare Zahl, die ersten 6 und alle 9 zusammen auch. Deshalb müssen auch die Ziffern 4 bis 6 eine durch 3 teilbare Zahl darstellen. Schauen wir uns diese drei Ziffern genauer an. Sie haben die Form 2 5 x oder 6 5 x, wobei x für die sechste Ziffer steht und gerade sein muss. Die Quersumme 2+5+x beziehungsweise 6+5+x muss durch 3 teilbar sein. Dafür gibt es nur die Lösungen 2 5 8 und 6 5 4.
Die Lösung muss dann wie folgt aussehen (g steht für eine gerade Zahl, u für eine ungerade):
u g u 2 5 8 u 6 u 0
u g u 6 5 4 u 2 u 0
Für g kommt in den beiden Fällen nur noch eine Ziffer infrage, weil die anderen drei geraden Ziffern schon an einer festen Position stehen:
u 4 u 2 5 8 u 6 u 0
u 8 u 6 5 4 u 2 u 0
Die Teilbarkeit durch 1, 2, 4 und 9 ist somit bereits garantiert.
Teilbarkeit durch 8
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden. Die Ziffern 6 bis 8 müssen also durch 8 teilbar sein. An Position 6 steht entweder eine 4 oder eine 8. 400 und 800 sind durch 8 teilbar. Deshalb brauchen wir nur noch die Teilbarkeit der aus den Ziffern 7 und 8 gebildeten Zahl zu untersuchen. Nur 16, 32, 72 und 96 sind durch 8 teilbar, die übrigen Kombinationen nicht. Damit erhalten wir die vier Fälle:
u 4 u 2 5 8 1 6 u 0
u 4 u 2 5 8 9 6 u 0
u 8 u 6 5 4 3 2 u 0
u 8 u 6 5 4 7 2 u 0
u steht für die noch zu verteilenden ungeraden Zahlen.
Teilbarkeit durch 3
Die ersten drei Ziffern bilden eine durch 3 teilbare Zahl. Für die Ziffern 4-6 ist die Teilbarkeit durch 3 schon gewährleistet – siehe oben. Auch die Ziffern 7-9 müssen eine durch 3 teilbare Zahl bilden.
Bei den Ziffern 7-9 kennen wir für die ersten beiden Ziffern vier Fälle:
1 6 u: Dreierrest 2 bei u nötig, keine Lösung
9 6 u: Dreierrest 0 bei u, nur u=3 möglich
3 2 u: Dreierrest 1, also u=1 oder u=7
7 2 u: Dreierrest 0, also u=3 oder u=9
Es bleiben also noch die Fälle
u 4 u 2 5 8 9 6 3 0 (u sind 1 und 7)
u 8 u 6 5 4 3 2 1 0 (u sind 7 und 9)
u 8 u 6 5 4 3 2 7 0 (u sind 1 und 9)
u 8 u 6 5 4 7 2 3 0 (u sind 1 und 9)
u 8 u 6 5 4 7 2 9 0 (u sind 1 und 3)
Das sind insgesamt zehn Fälle, welche sämtlich die geforderten Teilbarkeiten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 erfüllen.
Teilbarkeit durch 7
Als Letztes fehlt noch die Teilbarkeit durch 7. Wir können die ersten sieben Ziffern in den Taschenrechner tippen und durch 7 teilen. Oder aber wir nutzen eine Teilbarkeitsregel. Für die Zahl 7 ist diese leider nicht so einfach wie für 3 oder 4. Die Zahl 1000 lässt beim Teilen durch 7 den Rest -1, denn 1001 = 7*11*13. Wenn wir eine Zahl schreiben als a + 1000*b + 1.000.000*c, so hat diese den gleichen 7er-Rest wie a–b+c. Für die Prüfung der Teilbarkeit durch 7 können wir die zu untersuchende Zahl also von rechts in Dreierpäckchen teilen und diese alternierend addieren.
Wie das geht, zeigt die Beispielzahl 1 472 589. Die Zahl ist zur besseren Übersichtlichkeit bereits in 3er-Päckchen aufgeteilt. Die alternierende 3er-Quersumme lautet:
589 - 472 + 1 = 118.
118 ist nicht durch 7 teilbar, sie hat den Rest 6, denn 7*17 = 119. 1 472 589 ist deshalb nicht durch 7 teilbar.
Diese Prüfung müssen wir für die ersten sieben Ziffern jeder der zehn noch infrage kommenden Zahlen machen. Hier die Übersicht über die zehn Zahlen, in der Klammer daneben steht der jeweils berechnete 7er-Rest:
1 4 7 2 5 8 9 6 3 0 (+6)
7 4 1 2 5 8 9 6 3 0 (+2)
7 8 9 6 5 4 3 2 1 0 (+4)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 (+5)
1 8 9 6 5 4 3 2 7 0 (+5)
9 8 1 6 5 4 3 2 7 0 (+2)
1 8 9 6 5 4 7 2 3 0 (+2)
9 8 1 6 5 4 7 2 3 0 (+6)
1 8 3 6 5 4 7 2 9 0 (+6)
3 8 1 6 5 4 7 2 9 0 (0)
Wir finden also nur eine einzige Lösung: 3 8 1 6 5 4 7 2 9 0.
Zugegeben: Die Lösung ist relativ lang. Diese auf YouTube beschriebene Lösung erscheint zwar kompakter, aber vor allem, weil die Zwischenschritte nicht im Detail dargestellt werden.
Vielen Dank an den Mathematiker Dierk Schleicher, der diese Knobelei und den Lösungsweg vorgeschlagen hat.
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Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
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