Rätsel der Woche Kann diese Rechnung aufgehen?
Bei der Suche nach spannenden Rätseln stoße ich immer wieder auf teils sehr alte Bücher. Die folgende Aufgabe stammt aus einem Buch von Boris Kordemski, das bereits 1959 in Moskau erschienen ist. Ein Leser hat mir netterweise die in der DDR publizierte deutsche Übersetzung mit dem Titel "Köpfchen, Köpfchen" zugeschickt. Vielen Dank an Rolf-Dietrich Beran in Altlandsberg bei Berlin!
Das Problem wird in dem Buch kurz und trocken in einem Satz beschrieben:
Wie viele Pluszeichen muss man zwischen die Ziffern der Zahl 123456789 setzen, damit als Summe 99 herauskommt?
Kurze Erläuterung: Wenn Sie zwischen alle neun Ziffern ein Plus setzen, ist die Summe zu klein (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 < 99). Kommt nur zwischen die 8 und die 9 kein Plus, ist die Summe zu groß (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 89 > 99).
Hier geht es zur Lösung
Es existieren drei verschiedene Lösungen (siehe Korrekturanmerkung unten):
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 99
1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99
12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99
Man kann diese Lösungen sicher durch geschicktes Probieren finden - ich bin jedoch anders vorgegangen. Ausgangspunkt war die Gleichung mit Pluszeichen zwischen allen neun Ziffern:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Klar ist, dass mindestens eine zweistellige Zahl unter den Summanden sein muss, um auf eine größere Summe als 45 zu kommen. Es darf aber auch keine dreistellige Zahl unter den Summanden sein, weil ich auf der linken Seite ja nur positive Zahlen addiere und die Summe 99 sein soll.
Nun schauen wir uns an, was passiert, wenn ich das Pluszeichen zwischen zwei Ziffern in der Gleichung 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 entferne. Auf jeden Fall ändert sich die Summe - und das Ziel ist, dass diese Änderung +54 beträgt. Folgende Tabelle zeigt, um welchen Betrag sich die Gesamtsumme ändert, wenn ich ein Pluszeichen entferne:
Die Tabelle zeigt uns sofort die erste Lösung: 67 - (6+7) ergibt 54 - also nehmen wir einfach das Pluszeichen zwischen 6 und 7 heraus und landen genau bei 99.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 99
Die Summe 99 ergibt sich jedoch auch, wenn wir zwei Pluszeichen wegnehmen. Und zwar zwischen 2 und 3 sowie zwischen 4 und 5. Die Summe erhöht sich dann um 18 + 36 = 54.
1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99
Es gibt noch eine weitere Lösung, die ich zunächst übersehen hatte. Man nimmt die Pluszeichen zwischen 1 und 2 sowie 5 und 6 weg, wodurch sich eine Erhöhung um 9 + 45 = 54 ergibt (siehe Korrekturanmerkung unten):
12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - hier sind die vorigen zehn Folgen:
- Shootout der wilden Cowboys
- Vollkommen ausgewogen
- Fünf Damen auf einem Schachbrett
- Radtour mit Hindernissen
- Woher kommt die 36. Kopeke?
- Finden Sie die drei schnellsten Pferde!
- Dreiecke im Quadrat
- Das rotierende Fünfeck
- Welches Streichholz muss umgelegt werden?
Korrekturhinweis: Die dritte Lösung fehlte in der ersten Version dieses Textes. Sie ist nun ergänzt. Vielen Dank an die Leser, die darauf hingewiesen haben!
