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Rätsel der Woche Laufduell am Baggersee

Zwei Frauen laufen Runden um einen See – mal in entgegengesetzter, mal in derselben Richtung. Erlaubt dies Rückschlüsse auf ihre Geschwindigkeiten?
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DER SPIEGEL

Steffi und Sarah treffen sich zum Lauftraining an einem Baggersee, um den eine Laufbahn führt. Beide stehen nebeneinander und starten in entgegengesetzter Richtung. Es dauert eine Minute, bis sie sich wieder treffen.

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Bei der zweiten Trainingseinheit ändern sie das Prozedere: Sie stehen wieder nebeneinander, starten jedoch in dieselbe Richtung. Es dauert eine Stunde, bis sie einander wieder begegnen.

Offensichtlich laufen Steffi und Sarah unterschiedlich schnell. Wie ist das Verhältnis ihrer Geschwindigkeiten?

Hinweis: Wir nehmen an, dass beide Läuferinnen in beiden Trainingseinheiten jeweils gleich schnell laufen.

Das Verhältnis der Geschwindigkeiten beträgt 61/59.

Die Lösung ist einfacher, als man zunächst denkt. a und b sind die Geschwindigkeiten der beiden Frauen. Als Maßeinheit nutzen wir Runden pro Minute, das vereinfacht die weitere Rechnung.

In der ersten Trainingseinheit laufen beide je eine Minute und kommen zusammen auf eine Runde. Also gilt

a*1 min + b*1 min = 1 Runde

Um besser rechnen zu können, lassen wir die Maßeinheiten einfach weg:

a + b = 1

In der zweiten Trainingseinheit laufen beide je 60 Minuten und eine Frau schafft eine Runde mehr. Dann gilt:

60a = 60b + 1

Nun stellen wir die obere Gleichung nach b um (b = 1 - a) und setzen sie in die untere Gleichung ein:

60a = 60(1-a) + 1

120a = 61

a = 61/120

Mit a + b = 1 erhalten wir

b = 59/120

und für das Verhältnis der Geschwindigkeiten 61/59.

Entdeckt habe ich dieses Rätsel auf der Plattform Mathigon .

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