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Rätsel der Woche Mysteriöse Telefonnummern

Drei Frauen treffen sich in einem Café und tauschen ihre Telefonnummern aus. Die Nummern haben eine verblüffende Gemeinsamkeit. Wie lauten die Zahlen?
Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Die drei Frauen kannten sich bislang nur von Twitter – nun haben sie sich erstmals persönlich in einem Café getroffen. Sie haben einander so viel zu erzählen, dass sie beschließen, sich baldmöglichst wiederzutreffen.

Bevor sie die Rechnung bezahlen, tauschen sie noch schnell ihre Telefonnummern aus. Die drei telefonieren immer noch ganz gern übers Festnetz. Da sie alle in derselben Stadt wohnen, können sie die Vorwahl weglassen. Eine der Frauen schaut sich die Nummern genauer an und macht eine verblüffende Entdeckung.

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Alle drei Nummern sind sechsstellig und beginnen logischerweise nicht mit einer Null. Wenn man bei den Nummern die letzten zwei Ziffern rechts abschneidet und links davorstellt, verdreifacht sie sich.

Wie lauten die drei Telefonnummern?

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Die drei Frauen haben folgende Telefonnummern:

  • 153846

  • 230769

  • 307692

Wir zerlegen die sechsstelligen Telefonnummern in die vierstellige Zahl A (die ersten vier Ziffern) und die zweistellige Zahl B (die letzten zwei Ziffern).

Die Telefonnummer lautet dann 100*A + B

Wenn wir die letzten zwei Ziffern abschneiden in links voranstellen, erhalten wir die Zahl 10.000*B + A

Dann gilt:

3(100*A + B) = A + 10.000*B

299*A = 9997*B

Nun nutzen wir die Eigenschaft natürlicher Zahlen, dass sie in Primfaktoren zerlegt werden können. Wir zerlegen 299 und 9997 in ihre Primfaktoren und dividieren beide Seiten durch 13:

13*23*A = 13*769*B

23*A = 769*B

Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen gleich große natürliche Zahlen. Auf beiden Seiten müssen deshalb auch dieselben Primfaktoren auftauchen. Also muss die 23 in B enthalten sein und die 769 in A, denn 23 und 769 sind beides Primzahlen.

Wir wissen, dass B zweistellig ist und ein Vielfaches von 23 sein muss. Infrage kommen deshalb für B nur 23, 46, 69, 92.

B = 23 entfällt, weil A dann nicht vierstellig ist. Also sind 46, 69, 92 die Lösungen für B und 2*769, 3*769 und 4*769 die Lösungen für A.

Vielen Dank an den Leser Norbert Spiller, der diese Zahlenknobelei vorgeschlagen hat.

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