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Rätsel der Woche Paul gewinnt zu oft

Martha und Paul haben sich ein Spiel mit Zufallszahlen zwischen 0 und 1 ausgedacht. Dank einer cleveren Strategie gewinnt Paul ziemlich oft. Kann Martha seine Siegesserie stoppen?
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DER SPIEGEL

Die Regeln des Zahlenspiels sind einfach: Ein Zufallsgenerator würfelt zwei Zahlen, die im Intervall von 0 bis 1 liegen. Anders als es das Bild oben suggeriert, kann die Zahl Hunderte Nachkommastellen haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zufallszahlen gleich groß sind, ist so gering, dass wir diesen Fall vernachlässigen können.

Die erste Zahl wird angezeigt und Paul muss dann entscheiden, ob die zweite, ihm noch nicht bekannte Zahl größer oder kleiner ist. Liegt er richtig, gewinnt er diese Runde und bekommt einen Punkt. Ist seine Auswahl falsch, bekommt seine Mitspielerin Martha den Punkt.

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Paul nutzt eine einfache und offenbar erfolgreiche Strategie: Ist die angezeigte Zahl größer als (oder gleich) 0,5, tippt er darauf, dass die zweite Zahl kleiner ist. Ist die angezeigte Zahl kleiner als 0,5, lautet sein Tipp: Zahl zwei ist größer.

Martha und Paul spielen eine Weile, aber Paul gewinnt deutlich häufiger. Um das Spiel spannender zu gestalten, ändern die beiden die Regeln. Martha darf sich die beiden Zufallszahlen vorab anschauen und jene auswählen, die Paul gezeigt wird.

Wie muss Martha vorgehen, um ihre Gewinnchancen zu erhöhen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt sie nun? Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Paul das Spiel nach den ursprünglichen Regeln gewonnen?

Martha kann ihre Gewinnchancen auf 50 Prozent erhöhen, wenn sie die unten beschriebene Strategie benutzt. In der ursprünglichen Version des Spiels gewinnt Paul mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 Prozent.

Zunächst zur ursprünglichen Version: Mit einer Wahrscheinlichkeit von je 50 Prozent ist eine Zufallszahl kleiner oder größer (oder gleich) 0,5. Da zwei Zufallszahlen gezogen werden, gibt es folgende vier Möglichkeiten, die alle eine Wahrscheinlichkeit von 25 Prozent haben:

  • Zahl 1 ist kleiner als 0,5 und Zahl 2 größer/gleich 0,5 (Paul gewinnt immer)

  • Zahl 1 ist größer/gleich 0,5 und Zahl 2 kleiner als 0,5 (Paul gewinnt immer)

  • Zahl 1 und 2 sind kleiner als 0,5 (Paul gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent)

  • Zahl 1 und 2 sind größer/gleich 0,5 (Paul gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent)

Rechnen wir die vier Fälle zusammen, kommen wir auf 75 Prozent.

Wie kann Martha ihre Siegchancen auf 50 Prozent erhöhen? Sie wählt von den beiden Zahlen jene aus, die den kleinsten Abstand zu 0,5 hat. Diese Zahl zeigt sie Paul. Wenn die gewählte Zahl einen Abstand von a zu 0,5 hat, liegt die zweite Zahl entweder im Intervall von 0 bis 0,5-a oder im Intervall von 0,5+a bis 1. Im ersten Fall ist die zweite Zahl kleiner, im zweiten Fall ist sie größer.

Welcher der beiden Fälle zutrifft, kann Paul nicht wissen. Seine bisherige Strategie funktioniert nicht mehr. Denn mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent ist die zweite Zahl größer oder kleiner als die von Martha gewählte, unabhängig davon, ob die von Martha gewählte Zahl größer/gleich oder kleiner als 0,5 ist. Selbst wenn Paul Marthas Strategie durchschaut hat, hilft ihm das nicht weiter.

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