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Rätsel der Woche Perfekt arrangiert

Drei Halbkreise berühren einander. Die Größe von zwei Halbkreisen ist bekannt – wie groß ist dann die gelbe Fläche?
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Ein Halbkreis hat die Fläche von 2*Pi. Rechts neben ihm befindet sich ein Halbkreis mit einer Fläche von Pi/2. Beide Halbkreise berührt von rechts oben ein dritter Halbkreis – siehe Zeichnung.

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Welche Fläche hat der in der Zeichnung gelb gefärbte Halbkreis?

Eränzender Hinweis: Der gelbe Halbkreis liegt auf der Tangente der beiden anderen Kreise und seine zwei "Ecken" berühren je einen dieser Kreise.

Der gelbe Halbkreis hat eine Fläche von Pi.

Der blaue Halbkreis hat einen Radius von 2, der orange Halbkreis einen Radius von 1. (Ein Halbkreis hat eine Fläche von Pi*r2/2, wenn r der Radius ist.)

Wir verbinden die Mittelpunkte der beiden unteren Halbkreise mit den Punkten, an denen der gelbe Halbkreis sie berührt – siehe folgende Skizze.

Foto:

DER SPIEGEL

Diese Verbindungen stehen senkrecht auf der geraden Außenkante des gelben Halbkreises, die seinem Durchmesser entspricht. Deshalb sind beide Verbindungen zueinander parallel.

Wenn wir den Mittelpunkt der linken Verbindung mit dem Mittelpunkt des orangen Halbkreises verbinden, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck.

Von diesem Dreieck kennen wir zwei Seiten. Die linke Kathete hat die Länge 1, die Hypotenuse hat die Länge 3. Die zweite Kathete entspricht dem Durchmesser des gelben Halbkreises, dessen Größe gesucht ist.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir den Durchmesser leicht berechnen – er beträgt Wurzel(9 – 1) = Wurzel(8). Der Radius ist dann Wurzel(8)/2. Die Fläche des gelben Halbkreises ist daher Pi*8/4*1/2 = Pi.

Entdeckt habe ich dieses leichte Geometrierätsel auf Twitter beim Account des Schweizer Mathematikers Diego Rattaggi .

Korrektur: In der Lösung war zweimal von Durchmesser die Rede, obwohl es sich um den Radius handelte. Der Fehler ist korrigiert.

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