Rätsel der Woche Perfekt geteilt
DER SPIEGEL
Teilen ist nicht einfach, weil immer irgendjemand nicht ganz zufrieden ist. Ihre Aufgabe ist, eine kreisrunde Torte zu halbieren. Das sollte keine zu große Herausforderung sein: Der gerade Schnitt muss lediglich durch den Mittelpunkt verlaufen, um zwei gleich große Hälften zu erhalten.
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20.03.2023 20.30 Uhr
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Die Schnittlinie ist dann genauso lang wie der Durchmesser der Torte. Die Frage ist, ob es nicht eine Schnittlinie gibt, die kürzer ist als der Durchmesser und die Torte trotzdem halbiert. Wie lautet Ihre Antwort?
Hinweis: Die Schnittlinie verbindet zwei Punkte auf dem Rand der kreisförmigen Tortenoberfläche. Sie muss nicht geradlinig sein.
Es gibt keine Schnittlinie, die kürzer ist als der Tortendurchmesser.
Die Schnittlinie beginnt und endet auf dem Rand der Torte. Sofern die direkte Verbindung dieser beiden Endpunkte durch den Tortenmittelpunkt verläuft, ist klar, dass die Schnittlinie mindestens so lang sein, muss wie der Durchmesser. Denn die Schnittlinie verbindet beide Punkte und die kürzestmögliche Verbindung zwischen ihnen entspricht dem Durchmesser.
Aber Anfangspunkt A und Endpunkt B müssten nicht auf einem Durchmesser liegen – ihre direkte Verbindung kann auch kürzer sein. Folgende Skizze zeigt auf der linken Seite eine solche Schnittlinie in roter Farbe. Wir zeichnen zusätzlich einen Durchmesser ein, der parallel zur Verbindung der beiden Punkte A und B ist.
Die rote Linie muss auf jeden Fall den Durchmesser schneiden. Läge sie vollständig unterhalb des Durchmessers, wäre das Tortenstück oberhalb der roten Linie auf jeden Fall größer als das unterhalb, was aber nicht sein darf. Den am weitesten links liegenden Schnittpunkt der roten Linie mit dem Durchmesser nennen wir P.
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Wir spiegeln nun den Teil der roten Linie, die rechts von P liegt, am Durchmesser – siehe Skizze oben rechts. Auch der Punkt B wird gespiegelt – so erhalten wir den Punkt B'. Die neue rote Schnittlinie ist genauso lang wie die ursprüngliche. Sie verbindet die Punkte A und B', deren kürzeste Verbindung der Kreisdurchmesser ist. Damit haben wir bewiesen, dass eine Verbindung von A und B, die die Torte halbiert, mindestens so lang ist wie der Tortendurchmesser.
Hinweis: Diese Lösung ist kürzer als die ursprünglich hier angegebene.
Entdeckt habe ich dieses anspruchsvolle Geometrierätsel im Buch »Noch mehr mathematische Rätsel für Liebhaber« von Peter Winkler.
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
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