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Rätsel der Woche Münze werfen, Wette gewinnen

Nina und Pawel werfen eine Münze so lange, bis eine von ihnen gewählte Folge auftritt. Pawel hat sich für Zahl-Kopf-Zahl entschieden. Welche Folge muss Nina wählen, um das Spiel zu gewinnen?
Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Bei vielen Spielen entscheidet allein das Glück, wer gewinnt und wer verliert. Mit etwas Mathematik kann man seine Siegchancen aber oft erhöhen. Zwar lässt sich der Zufall etwa beim Würfeln nicht ausschalten. Aber wer genau berechnet, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Augenzahlen fallen oder welche Karte verdeckt auf dem Tisch liegt, hat zumindest statistisch gesehen die besseren Karten.

Nina und Pawel haben sich ein Glücksspiel ausgedacht, bei dem sie immer wieder eine Münze werfen. Diese landet entweder mit der Kopf- oder der Zahlseite nach oben. So entsteht beginnend beim ersten Wurf eine Zufallsfolge wie Zahl – Zahl – Kopf – Zahl – Kopf – Kopf...

Jeder Spieler darf sich eine feste Folge aus drei Würfen aussuchen – etwa Kopf – Kopf – Zahl oder Zahl – Zahl – Zahl. Der Spieler, dessen Folge zuerst auftritt, hat gewonnen.

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Pawel entscheidet sich die für die Folge Zahl – Kopf – Zahl.

Welche Folge sollte Nina wählen, um ihre Gewinnchancen zu erhöhen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt sie das Spiel?

Hinweis: Dies ist eine schwierigere Variante eines Rätsels aus dem Juni 2020.

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Nina kann die Folge Zahl – Zahl – Kopf wählen und gewinnt das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.

Wir nehmen an, dass Pawel und Nina die Münze geworfen haben, ohne zu schauen, welche Dreiersequenzen in der Folge vorkommen. Wir untersuchen erst im Nachhinein, wer das Spiel gewonnen hätte. Um die Darstellung zu vereinfachen, kürzen wir Zahl mit Z und Kopf mit K ab. Pawel gewinnt also bei ZKZ, Nina bei ZZK.

Wir suchen nun in der Folge die Stelle, an der Z zum ersten Mal auftaucht. Erst ab dieser Position kann eine der beiden Sequenzen ZKZ oder ZZK auftreten – muss aber nicht. Folgende vier Kombinationen aus drei Würfen mit Z am Anfang sind möglich – jede hat eine gleich hohe Wahrscheinlichkeit von 1/4:

  1. ZZK -> Nina gewinnt

  2. ZKZ -> Pawel gewinnt

  3. ZZZ -> Nina gewinnt

  4. ZKK -> niemand gewinnt

Bei Variante 1 gewinnt Nina, bei Variante 2 heißt der Sieger Pawel – beides ist klar. Doch auch bei Variante 3 ist Nina die Gewinnerin. Denn immer, wenn Z zweimal, dreimal oder öfter hintereinander fällt, ist sie die Siegerin. Irgendwann taucht in der Folge ZZ.... erstmals wieder ein K auf. Und weil direkt davor mindestens zwei Z stehen, ergibt sich immer die Folge ZZK, bevor ZKZ erscheinen kann.

Keinen Sieger gibt es im Fall 4 bei der Folge ZZK. Dann müssen wir nach dem nächsten in der Folge auftauchenden Z suchen – und die eben gemachte Analyse wiederholt sich. Wieder gewinnt Nina in zwei von vier Fällen, in einem Fall siegt Pawel und in einem Fall gibt es keinen Sieger. Ohne Sieger beginnt das Ganze wieder von vorn.

Sie ahnen vielleicht schon, worauf das Ganze hinausläuft. Wenn es einen Sieger nach dem ersten Z in der Folge gibt, ist das in zwei von drei Fällen Nina. Gibt es eine Entscheidung erst nach dem zweiten Z, heißt die Siegerin ebenfalls in zwei von drei Fällen Nina. Und so geht das immer weiter – deshalb gewinnt Nina das Spiel auch insgesamt mit p = 2/3.

Weniger elegant ist es, die Wahrscheinlichkeit direkt auszurechnen. Dies führt zur Summe einer geometrischen Reihe – auch hier lautet das Ergebnis 2/3:

p = 1/2 + 1/2*1/4 + 1/2*(1/4)2 + 1/2*(1/4)3 + 1/2*(1/4)4 + ....

Der Faktor 1/2 entsteht, weil Nina in jedem Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 gewinnt. Woher kommen die Potenzen von 1/4? Die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem ersten in der Folge auftretenden Z keine Entscheidung fällt, ist 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach der nächsten in der Gesamtfolge auftretenden mit Z beginnenden Dreiersequenz keine Entscheidung fällt, ist 1/4*1/4 = (1/4)2 und so weiter.

Vielen Dank an Albrecht Beutelspacher, der dieses schwierige Münzwurfrätsel auf der Webseite des Mathematikums vorgestellt hat und an den Mathematiker Dierk Schleicher. Mit ihm habe ich verschiedene Lösungsweg diskutiert, darunter auch einen falschen! Das Problem ist in allgemeiner Form auch unter dem Namen Penney's Game  bekannt.

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