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Rätsel der Woche Ein Rechteck, zwei Kreise – und der Winkel?

In ein Rechteck sind eine Diagonale und zwei Kreise eingezeichnet. Die Größe des blauen Winkels ist bekannt. Wie groß ist dann der gelb markierte?
Foto:

DER SPIEGEL

Der Innenkreis eines Dreiecks lässt sich sehr leicht konstruieren: Man zeichnet in zwei Ecken des Dreiecks jeweils die Winkelhalbierende, ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises.

Bei der Aufgabe dieser Woche geht es gleich um zwei Innenkreise. Diese sind in die zwei Dreiecke eingezeichnet, die entstehen, wenn ein Rechteck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt wird – siehe Skizze oben.

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Die Mittelpunkte der beiden Innenkreise bilden eine Strecke, welche die Diagonale in einem Winkel von 45 Grad schneidet. Wie groß ist dann der gelb markierte Winkel?

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Die Größe des gelben Winkels beträgt 30 Grad.

Für die Lösung reicht es, zwei weitere Strecken einzuzeichnen: einmal das Lot des linken Innenkreis-Mittelpunktes auf die Diagonale – und zum zweiten das Lot desselben Kreismittelpunkts auf die linke Seite des Rechtecks. Folgende Zeichnung zeigt diese Strecken:

Foto: DER SPIEGEL

Beide Lote haben die Länge r, wobei r dem Radius des Innenkreises entspricht. Das zweite Lot teilt die linke Rechteckseite in eine Strecke der Länge r und in eine Strecke a. Das erste Lot teilt die halbe Diagonale aus Symmetriegründen ebenfalls in eine Strecke mit der Länge a – und die zweite Teilstrecke hat auch eine Länge von r, weil sie die Kathete eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks ist, dessen andere Kathete die Länge r hat. Die Gleichschenklichkeit dieses Dreiecks ergibt sich automatisch aus dem gegebenen Winkel von 45 Grad.

Damit ist klar: Die Diagonale des Rechtecks ist doppelt so lang (2a + 2r) wie die linke Seite des Rechtecks (a + r). Weil die Diagonale und die zwei Rechteckseiten links und unten ein rechtwinkliges Dreieck bilden, muss der gelbe Winkel 30 Grad groß sein. Das Dreieck ist genau die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks.

Ein anderer Lösungsweg nutzt den Sinus des gelben Winkels, den wir leicht berechnen können:

sin(gelb) = (a + r)/(2a + 2r) = 1/2

Auch so kommen wir auf 30 Grad, denn der Sinus von 30 Grad ist 1/2.

Entdeckt habe ich diese Geometrieknobelei auf Twitter beim Account vom Euklidea .

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