Rätsel der Woche Ist 2023 ein besonderes Jahr?
DER SPIEGEL
Die Zahl des aktuellen Jahres hat eine verblüffende Eigenschaft: Wenn wir ihre vier Ziffern in erster Potenz addieren und mit dem Quadrat der Summe der zweiten Potenzen multiplizieren, erhalten wir wieder exakt die Jahreszahl 2023.
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Preisabfragezeitpunkt
29.03.2023 03.04 Uhr
Keine Gewähr
(21 + 01 + 21 + 31)1 * (22 + 02 + 22 + 32)2
= 2023
Sie können es nachrechnen: 7 mal 172 ergibt tatsächlich 2023.
Ist das Zufall? Steht dahinter eine Art mathematisch-göttliche Fügung? Oder kommt so etwas öfters vor?
Finden Sie alle Jahreszahlen in diesem Jahrtausend, für die der oben beschriebene Zusammenhang gilt!
Die einzige weitere Lösung in diesem Jahrtausend ist 2400.
Der hier beschriebene Lösungsweg kommt (zumindest theoretisch) ohne Taschenrechner aus, weil nur wenige einfache Multiplikationen auszuführen sind.
Der Trick besteht darin, zunächst den Bereich infrage kommender Ziffern einzugrenzen. Je größer die Ziffern in der Jahreszahl sind, umso größer wird auch das Produkt aus ihren Potenzen. Dieses Produkt darf jedoch nicht größer sein als 3000, weil wir ja Lösungen in diesem Jahrtausend suchen.
Taucht nur eine einzige 5 als Ziffer auf, landen wir bei einem Produkt von mehr als 5000. Denn es gilt:
(21 + 51 + …)*(22 + 52 + …)2 >= 7*292 = 5887
Die größte auftauchende Ziffer kann also nur eine 4 sein. Wir schauen, ob wir mit 4 unter 3000 bleiben:
(21 + 41 + …)*(22 + 42 + …)2 >= 6*202 = 2400
Wir haben auf Anhieb eine Lösung gefunden! Wir müssen die fehlenden beiden Ziffern nur auf Null setzen.
(21 + 41 + 01 + 01)*(22 + 42 + 02 + 02)2 = 2400
Es gibt allerdings keine weitere Lösung, in der die Ziffer 4 auftaucht. Warum? Wenn nur eine der beiden fehlenden Ziffern keine Null ist, also mindestens eine 1, wird das Produkt größer als 3000.
(21 + 41 + 11 + …)*(22 + 42 + 12 + …)2 >= 7*212 = 3087
Weitere Lösungen sind also nur möglich, wenn sämtliche Ziffern der Jahreszahl kleiner als 4 sind. Die Anzahl der Varianten ist damit überschaubar. Wir gehen davon aus, dass die erste Ziffer eine 2 ist. (Das Jahr 3000 gehört zwar noch zum derzeitigen Jahrtausend, ist aber keine Lösung, wie man leicht nachrechnen kann.)
Sofern zwei Dreien unter den übrigen drei Ziffern sind, gibt es keine Lösung, weil das Produkt größer als 3000 ist:
(21 + 31 + 31 + …)*(22 + 32 + 32 + …)2 >= 8*222 = 3872
Bei nur einer 3 können die noch fehlenden zwei Ziffern nur 0, 1 oder 2 sein. Diese wenigen Varianten können wir schnell durchrechnen. Das Produkt ist teils kleiner als 2000, teils größer als 3000. Aber nur bei der bereits bekannten Lösung 2023 passt alles.
Gibt es keine einzige 3 unter den vier Ziffern, erhalten wir nur bei der Variante 2222 ein Produkt größer als 2000, jedoch keine Lösung.
Damit haben wir alle infrage kommenden Fälle untersucht und nur eine weitere Lösung gefunden.
Vielen Dank an den Mathematiker Dierk Schleicher, der dieses Rätsel vorgeschlagen hat.
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
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