Rätsel der Woche Voll auf die Mitte

Drei zufällig auf einem Kreis gewählte Punkte bilden ein Dreieck. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt des Kreises im Dreieck liegt?

SPIEGEL ONLINE

Von und (Grafik)


Es ist immer spannend, wenn zwei mathematische Fachgebiete zusammentreffen. Beim folgenden Problem sind das die Geometrie und die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das macht die Aufgabe einerseits anschaulich - aber auch ganz schön vertrackt.

Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem Kreis werden zufällig drei Punkte ausgewählt und miteinander verbunden. Dabei entsteht ein sogenannten Sehnendreieck. Die Ecken dieses Dreiecks liegen also auf dem Kreis.

Wir zeichnen zusätzlich den Mittelpunkt des Kreises ein. Dieser kann von den drei Seiten eingeschlossen sein, aber sich auch außerhalb des Dreiecks befinden - siehe folgende Zeichnung.

SPIEGEL ONLINE

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks oder auf einer seiner drei Seiten liegt? (Hinweis: Die drei Punkte auf dem Kreis werden zufällig gewählt.)



insgesamt 97 Beiträge
Alle Kommentare öffnen
Seite 1
fx33 02.11.2019
1. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit...
Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit etwas größer als 1/4. Wenn der zweite Punkt exakt gegenüber des ersten liegt, ist die Forderung "im Dreieck oder auf einer seiner Linien" bereits erfüllt. liegt der zweite Punkt auch nur geringfügig NICHT genau gegenüber des ersten Punkts, gibt es auf der Seite der Linie, auf der der Kreismittelpunkt liegt, geringfügig mehr Möglichkeiten für die zufällige Auswahl des dritten Punkts als auf der anderen Seite. Für die exakte Wahrscheinlichkeit 1/4 hätte man die Lösung, dass der Kreismittelpunkt auf der Linie liegt, explizit ausschliessen müssen.
BolleBollwitz 02.11.2019
2. Wozu Pi &Co.?
Ist doch ganz einfach: zwei Punkte klappen die zunkünftig entstehende Fläche entweder über die Mitte, oder nicht (1/2). Der dritte Punkt entscheidet zu 50%, in welche tatsächliche Richtung diese 1/2-Wahrscheinlichkeit klappt: Tatsächlich über die Mitte, oder nicht: 1/2 ÷ 50% = 1/4. War also relativ einfach.
pm2001 02.11.2019
3. Grenzwertig ...
zu Beitrag 1: was meinen Sie: ist 0,999999... ("0,9 Periode") gleich 1 oder ungleich?
sh137 02.11.2019
4.
@fx33 Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Punkte so gewählt werden, dass sie und der Mittelpunkt in derselben Linie liegen, ist allerdings null, da unendlich Punkte gewählt werden könnten. Zumindest gilt diese Betrachtungsweise in Mathe.
pm2001 02.11.2019
5. Zusatzaufgabe
Nette Zusatzaufgabe: sind die Wahrscheinlichkeiten gleich oder ungleich, wenn im einen Fall der Mittelpunkt ganz im Dreieck liegen muss oder im anderen Fall auch auf einer Dreieckseite liegen darf?
Alle Kommentare öffnen
Seite 1

© SPIEGEL ONLINE 2019
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung


TOP
Die Homepage wurde aktualisiert. Jetzt aufrufen.
Hinweis nicht mehr anzeigen.