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Rätsel der Woche Pizza schneiden für Profis

In wie viele unterschiedlich große Stücke können Sie eine Pizza mit zehn geraden Schnitten aufteilen?
Foto:

DER SPIEGEL

Normalerweise schneidet man eine Pizza ähnlich wie eine Torte: Die Schnitte verlaufen durch den Mittelpunkt, jede Schnittlinie teilt die runde Pizza in zwei Halbkreise. So entstehen meist sechs oder acht gleich große Stücke.

Doch wir möchten die Pizza nicht fair aufteilen, sondern in möglichst viele verschiedene Stücke. Diese müssen deshalb auch nicht gleich groß sein. Es gibt nur zwei Vorgaben: Jeder Schnitt muss gerade sein. Und die entstandenen Pizzastücke dürfen vor einem Schnitt nicht umgeordnet werden.

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Wie viele Stücke können Sie maximal mit zehn Schnitten erhalten?

Zusatzfrage: Wie lautet die maximal mögliche Stückzahl bei 100 Schnitten?

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Mit zehn geraden Schnitten kann eine runde Pizza in 56 Stücke aufgeteilt werden.

Nehmen wir zum Beispiel an, die Pizza wurde schon zweimal geschnitten. Wie viele neue Stücke entstehen durch einen dritten Schnitt?

Sofern der dritte Schnitt nicht parallel zu einem der vorherigen Schnitte ist, schneidet die dritte Schnittlinie die erste und die zweite Schnittlinie. Dadurch entstehen im Höchstfall drei zusätzliche Stücke – siehe folgende Skizze. Gibt es bereits drei Schnitte, können durch einen vierten Schnitt höchstens vier zusätzliche Stücke entstehen.

Foto:

DER SPIEGEL

Das können wir verallgemeinern: Bei n-1 Schnitten entstehen durch den Schnitt Nummer n höchstens n neue Stücke. Das ist leicht zu verstehen. Wenn ich bei n-1 existierenden Schnittlinien eine neue Schnittlinie ziehe, entstehen maximal n-1 neue Schnittpunkte. Unterhalb jedes neuen Schnittpunkts entsteht ein zusätzliches Stück – das sind insgesamt n-1 neue Stücke. Hinzu kommt noch ein weiteres Stück oberhalb des obersten Schnittpunkts. Insgesamt ergeben sich deshalb bei Schnitt Nummer n höchstens n neue Stücke.

Die maximale Stückzahl mit n Schnitten ist daher die Summe aller Zahlen von 1 bis n. Zu dieser Summe müssen wir noch 1 addieren, weil die Pizza vor dem ersten Schnitt ja bereits aus einem Stück besteht.

Für die Summe von 1 bis n gibt es eine Summenformel, die schon der junge Carl Friedrich Gauß kannte:

1 + 2 + ... + n-1 + n = 1/2 * n * (n+1)

Bei zehn Schnitten lautet die Lösung 5*11 + 1 = 56. Bei 100 Schnitten sind es 50*101 + 1 = 5051 Stücke.

Die hier berechnete Höchstzahl an Pizzastücken wird nur erreicht, wenn es keine zueinander parallelen Schnittlinien gibt und wenn durch jeden Schnittpunkt zweier Linien keine weitere Schnittlinie verläuft.

Entdeckt habe ich dieses Pizzarätsel auf der Webseite mathigon.org .

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