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Rätsel der Woche Spaghetti-Dreieck gesucht

Eine lange dünne Nudeln zerbricht schnell – manchmal auch in drei Stücke. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lassen sich diese drei zufällig entstandenen Segmente zu einem Dreieck zusammenlegen?
Foto: sss615 / imago images

Nudeln aus Hartweizen sind empfindlich. Vor allem dünne Spaghetti zerbrechen sehr leicht. Das macht diese Nudelvariante zu einem interessanten Gegenstand für ein Gedankenexperiment.

Stellen wir uns vor, wir zerbrechen eine Spaghetti zufällig in drei Teile.

Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass wir aus den drei Segmenten ein Dreieck legen können?

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ein Viertel.

Es ist offensichtlich, dass keines der drei Segmente länger sein darf als die Hälfte der ursprünglichen Länge der Spaghetti. Denn in einem Dreieck sind die Längen von zwei Seiten zusammen stets größer als die Länge der dritten Seite.

Folgendes Diagramm zeigt die Lage der zwei Punkte, an denen die Nudel zerbrochen wird, sodass drei Teilstücke entstehen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Nudel eine Länge von 1 hat. Die x-Achse zeigt die Lage des ersten Bruchpunkts, die y-Achse den zweiten Bruchpunkt. Beide können Werte von 0 bis 1 annehmen.

Wenn beide Bruchpunkte zugleich unterhalb oder zugleich oberhalb von 0,5 liegen, ist ein Segment auf jeden Fall länger als 0,5. Dann ist kein Dreieck möglich. Diese Flächen sind im Diagramm durch rosafarbene Rechtecke dargestellt – es sind die Quadranten links unten und rechts oben.

Damit überhaupt ein Dreieck entstehen kann, muss ein Bruchpunkt zwischen 0 und 0,5 liegen und der Zweite zwischen 0,5 und 1.

Doch auch hier führen nicht alle Varianten zum Ziel. Der Abstand zwischen den beiden Bruchpunkten darf schließlich nicht größer sein als 0,5. Ansonsten wäre das Segment in der Mitte ja länger als die anderen beiden Stücke und es ließe sich kein Dreieck legen.

Wenn x zwischen 0 und 0,5 liegt, darf y also nicht größer sein als x+0,5. Befindet sich x im Bereich 0,5 bis 1, darf y wiederum nicht kleiner sein als x-0,5.

Die blauen Flächen im Diagramm markieren die Konstellationen aus x und y, die ein Dreieck ermöglichen. Rote Flächen stehen für eine Segmentaufteilung, bei der kein Dreieck entstehen kann.

Der Anteil der blauen Flächen an der Gesamtfläche beträgt ein Viertel – dies ist auch die gesuchte Lösung.

Ich habe diese sehr schöne Aufgabe auf dem Mathematikportal Mathigon  entdeckt. Sie finden es aber auch auf YouTube  oder in diversen Onlineforen wie mathoverflow .

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