Zu Beginn eines Schachspiels stehen immer zwei weiße und zwei schwarze Türme auf dem Brett. Ein Turm kann jede Figur schlagen, die er auf geradem Weg ohne Überspringen anderer Figuren erreichen kann. Er bewegt sich ausschließlich auf waagerechten Reihen und senkrechten Linien.
Bei der folgenden Aufgabe sollen Sie so viele Türme wie möglich auf die 8x8 Felder eines leeren Schachbretts stellen – pro Feld natürlich höchstens einen.
Ein Turm darf dabei maximal zwei weitere Türme bedrohen. Wichtig: Ein Turm gilt auch dann als von einem anderen Turm bedroht, wenn zwischen diesen beiden Türmen ein weiterer Turm steht oder auch mehrere.
Wie viele Türme passen unter diesen Bedingungen maximal auf das 8x8 Felder große Schachbrett?
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Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL
Lösung
Auf dem Schachbrett können 16 Türme platziert werden. Folgendes Bild zeigt eine mögliche Konstellation:
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Wir müssen nun aber noch beweisen, dass 16 die größtmögliche Zahl ist. Das ist nicht allzu schwer. Nehmen wir an, es gibt eine Lösung mit mehr als 16 Türmen. Dann müssen in mindestens einer Reihe oder Linie mindestens drei Türme stehen.
Zugleich folgt aus den Bedingungen der Aufgabe, dass nicht mehr als drei Türme einer Reihe oder Linie stehen dürfen, denn sonst würde jeder dieser Türme drei weitere bedrohen. Es dürfen aber höchstens zwei sein.
Bei dieser Aufgabe können wir Reihen beliebig umordnen – und auch Linien. Dadurch ändert sich an der Konstellation der Türme nichts. Die Anzahl weiterer Türme, mit denen sie in einer Reihe/Linie stehen, bleibt gleich.
Deshalb können wir die drei Türme, die zusammen in einer Reihe oder Linie stehen, zum Beispiel in der Reihe links oben nebeneinander stellen. In der obersten Reihe und in den drei senkrechten Linien links darf dann kein weiterer Turm mehr stehen – siehe rote Markierung. Ansonsten würde mindestens ein Turm drei weitere Türme bedrohen und damit einen mehr als erlaubt.
Als Fläche zum Aufstellen weiterer Türme kommt deshalb nur der 5x7 Felder große Bereich rechts unten infrage.
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Dort müssen wir nun mindestens 17-3 = 14 Türme unterbringen. Wenn wir 14 Türme über fünf senkrechte Linien verteilen wollen, und pro Linie maximal drei möglich sind, müssen in vier Linien je drei Türme stehen und in einer Linie zwei.
Also stellen wir drei Türme oben in die linke Linie. In dieser Linie und in den drei rot markierten Reihen rechts der drei Türme dürfen dann ebenfalls keine weiteren Türme platziert werden. Als Aufstellfläche verbleiben die 4x4 Felder rechts unten.
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Auf dieser Fläche müssen mindestens 14 - 3 = 11 Türme aufgestellt werden. Wir platzieren in der linken Linie drei Türme.
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Dann haben wir noch Platz für drei weitere Türme in der untersten Reihe. Insgesamt stehen damit aber nur 12 statt 17 Türme auf dem Brett. Und das sind weniger als 16.
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