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Rätsel der Woche Schlankes Viereck gesucht

Vier Punkte auf dem Rand eines Rechtecks bilden ein Viereck. Wo müssen diese Punkte platziert sein, damit der Umfang des Vierecks so klein wie möglich wird?
Foto:

Michael NIestedt / DER SPIEGEL

Wie lebhaft über Mathematik debattiert werden kann, zeigte sich beim Rätsel aus der vergangenen Woche. Die unendliche Potenz enthielt gleich zwei Fallstricke. Auch ich hatte die Schwierigkeiten unterschätzt, die in der Aufgabe stecken. Die angegebene Lösung stimmte zwar, erforderte jedoch noch einige zusätzliche Erläuterungen, die nun ergänzt sind. Vielen Dank an den Leser Johannes Herbert für die hilfreichen Hinweise!

Das neue Rätsel dürfte nicht ganz so viele Diskussionen auslösen. Es geht um ein Rechteck. Auf seinen vier Seiten – und auf keinem der Eckpunkte – liegen die Punkte A, B, C und D. Diese vier Punkte bilden ein Viereck.

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Michael NIestedt / DER SPIEGEL

Wie müssen die Punkte A, B, C, D platziert werden, damit der Umfang des Vierecks ABCD minimal wird?

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Der Punkt A kann frei auf der rechten Seite gewählt werden. Die übrigen Punkte müssen so platziert sein, dass die Seiten des Vierecks ABCD stets parallel zu einer der beiden Diagonalen des Rechtecks verlaufen – siehe folgende Zeichnung:

Foto:

Michael NIestedt / DER SPIEGEL

Bei der Lösung nutzen wir den Spiegeltrick, der kürzlich auch schon beim Rätsel der Wanderer zum Einsatz kam, die auf dem kürzesten Weg in ihr Camp wollen, vorher aber noch Wasser vom Fluss holen müssen.

Wir zerlegen die Aufgabe in mehrere Schritte. Zunächst nehmen wir die Punkte A, B, C, D als gegeben an und versuchen, den Weg von A nach C zu optimieren. Wo muss B liegen, damit der gesamte Weg von A nach C minimal wird?

Dazu spiegeln wir das ganze Rechteck samt aller Punkte A, B, C, D an der unteren Seite. Wir stellen fest, dass der kürzeste Weg jener ist, der die Punkte A und C' direkt verbindet – auf einer Geraden.

Foto:

Michael NIestedt / DER SPIEGEL

Im zweiten Schritt wollen wir den kürzesten Weg von A nach D finden. Dazu spiegeln wir das bereits gespiegelte Rechteck noch einmal – diesmal an der linken Seite. Der kürzeste Weg von A nach D'' ist wieder die Strecke, die diese beiden Punkte verbindet.

Foto: Michael Niestedt / DER SPIEGEL

Nun zum letzten Schritt: Wir suchen die kürzeste Verbindung vom Punkt A zum Punkt A, der über jede der drei anderen Rechteckseiten führt. Dazu spiegeln wir das Rechteck links nochmals – und zwar nach unten. Die kürzeste Verbindung von A nach A entspricht dann der direkten Verbindung von A und A'''. Diese Verbindung verläuft parallel zur Diagonale des Rechtecks, die den Eckpunkt rechts oben mit dem Eckpunkt links unten verbindet.

Foto: Michael NIestedt / DER SPIEGEL

Das Interessante an dieser Lösung ist, dass es egal ist, wo wir Punkt A platzieren. Solange die Seiten des Vierecks ABCD parallel zu den beiden Diagonalen des Rechtecks sind, ändert sich der Umfang von ABCD nicht und ist zugleich minimal.

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Dambeck, Holger

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