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Rätsel der Woche Sehen Sie den Wald vor lauter Bäumen nicht?

Sie stehen genau in der Mitte eines quadratischen Waldes. Die Bäume wurden gleichmäßig in Reihen gepflanzt. Wie viele können Sie von Ihrem Standort aus sehen?
Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Auf den Weinexzess in der vergangenen Woche folgt nun ein Ausflug ins Grüne. Genauer gesagt: in einen exakt geometrisch angelegten Wald.

Die Bäume stehen in 13 Reihen nebeneinander und bilden ein Quadrat, der Abstand von Reihe zu Reihe ist immer gleich. Stünden überall an den Schnittpunkten der Gitterlinien Bäume, wären es insgesamt 13 mal 13 = 169 Bäume.

Doch genau in der Mitte des Waldes fehlt ein Baum - damit Sie dort stehen können!

Wenn Sie sich eine vollständige Runde um sich selbst drehen, wie viele der 168 Bäume sehen Sie dann?

Hinweis: Natürlich hängt das Ergebnis auch von der Dicke der Baumstämme ab. Wir gehen der Einfachheit halber aber davon aus, dass die Durchmesser so klein sind, dass ein Baum nur jene Bäume hinter sich verdeckt, die sich exakt auf der Geraden befinden, die Ihren Standpunkt mit dem Baum verbindet. Ihr Standpunkt ist fixiert - er befindet sich genau in der Mitte des quadratischen Waldes. Sie dürfen sich auch nicht zur Seite neigen.

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Sichtbar sind 96 der insgesamt 168 Bäume.

Folgende Grafik zeigt den Standort als schwarzes Kreuz, die sichtbaren Bäume grün - und die verdeckten rot.

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Ich habe Excel benutzt, um die Lösung zu finden. Der Wald wird darin als 13 mal 13 Zellen große Tabelle dargestellt. An den Seiten habe ich zusätzlich in zwei Zeilen und zwei Spalten die Koordinaten der Zellen eingefügt.

Der Standpunkt in der Mitte hat die Koordinaten (0,0). Der Baum rechts oben (6,6) und der links unten (-6,-6).

Die Koordinaten verraten, ob ein Baum verdeckt wird oder nicht. Immer dann, wenn die beiden Zahlen nur einen gemeinsamen Teiler haben, nämlich 1, ist der Baum von unserem Standpunkt aus sichtbar. Der größte gemeinsame Teiler ist dann 1.

Sobald der größte gemeinsame Teiler aber größer als 1 ist, ist der Baum verdeckt. Das versteht man am besten an einem Beispiel: Der Baum mit den Koordinaten (2,1) ist sichtbar, denn der größte gemeinsame Teiler ist 1.

Die Bäume mit den Koordinaten (4,2) und (6,3) sind es jedoch nicht, denn der größte gemeinsame Teiler ist bei ihnen 2 beziehungsweise 3. Sie stehen deshalb exakt auf der Geraden, die durch den Mittelpunkt und den Baum mit den Koordinaten (2,1) verläuft.

Folgende Grafik zeigt die größten gemeinsamen Teiler für die Koordinaten aller 168 Bäume:

Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Nur wenn über dem Baum eine 1 steht, ist er sichtbar.

In Excel gibt es eine Funktion zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers - sie heißt GGT. In Spreadsheet lautet der Name der Funktion GCD (Greatest Common Divisor). Die Tabelle, mit der ich die Lösung berechnet habe, finden Sie hier als Google Spreadsheet  - Sie können sie sich von dort auch als Excel-Datei herunterladen.

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Dambeck, Holger

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Vielen Dank an den Leser Frank Timphus, der diese Aufgabe vorgeschlagen hat.

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