Rätsel der Woche Überlappende Quadrate

Schiebt man zwei Vierecke übereinander, entsteht eine Überlappung. Können Sie die Größe dieser gemeinsamen Fläche berechnen, wenn Sie die Lage der Quadrate kennen?

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Von und (Grafik)


Die Fläche eines Quadrats ist leicht auszurechnen - sie entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Ganz so einfach ist das folgende Problem jedoch nicht zu lösen. Sie sollen die Größe der Teilfläche eines Quadrats bestimmen, die durch Überlappung mit einem größeren Quadrat entsteht.

Das kleine Quadrat hat die Seitenlänge 3, das große Quadrat eine Seitenlänge von 4. Eine Ecke des größeren Quadrats befindet sich exakt auf dem Mittelpunkt des kleineren Quadrats.

Und es gibt noch eine weitere Information zur Lage der beiden Figuren: Das größere Quadrat ist um seinen oberen linken Eckpunkt so weit gedreht, dass eine seiner Seiten die rechte Seite des kleineren Quadrats im Verhältnis 1:2 teilt - siehe folgende Skizze:

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Wie groß ist die türkis gefärbte Teilfläche des kleinen Quadrats, die vom größeren Quadrat überdeckt wird?



insgesamt 79 Beiträge
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TaramTaram 24.11.2019
1. 2,25
Die Lösung ist m.E. simple erklärbar, da die eine Ecke exakt im Mittelpunkt des kleineren Quadrates liegt. Somit könnte man das große Quadrat 360° um DIESE Ecke drehen und die Fläche wäre immer gleich groß, also auch, wenn man das gr. Quadrat so platziert, dass die überlappende Fläche rechtwinklig ist. Also benötigt man lediglich die halbe Kantenlänge des kleinen Quadrates, also 1,5 und diese ist dann zum Quadrat zu nehmen, also 2,25.
UliBreimaier 24.11.2019
2. Dreieckszerlegung
Eine "klassische" Zerlegung des türkisfarbenen Vierecks in zwei rechtwinklige Dreiecke und ein Rechteck bringt die Lösung: Eine Waagerechte von M aus nach rechts teilt oben in der türkisfarbenen Fläche ein rechtwinkliges Dreieck ab mit den Kathetenlängen 1,5 (unten; Hälfte von 3) und 0,5 (rechts; Hälfte von 3 und dann 1 abziehen). Wenn man nun vom unteren rechten Schnittpunkt der beiden Quadrate nach oben eine Senkrechte zur vorherigen Waagerechten zieht, wird ein weiteres, zum vorherigen kongruentes Dreieck von der türkisfarbenen Fläche abgetrennt. Seine Kathetenwinkel müssen gleich sein, weil sie sich bei M zu einem rechten Winkel ergänzen, und seine lange Kathete hat wieder die halbe Seitenlänge des kleinen Quadrates, also 1,5. Beide Dreiecke zusammen haben daher einen Flächeninhalt von 0,5 * 1,5 = 0,75. "Übrig" bleibt noch ein türkisfarbenes Rechteck mit den Seitenlängen 1,5 und 1,0 (1,5-0,5) und dem Flächeninhalt 1,5. Insgesamt muss die türkis gefärbte Fläche also 2,25 oder 9/4 groß sein.
Bibe 24.11.2019
3. Nicht schwer...
... dieses Rätsel
DJ Doena 24.11.2019
4.
Ich würde behauptet, dass der 15° Winkel nach oben (1/3 von 45°) bei einem rechten Winkel genau derselbe ist, der unten auch auch anliegt. Damit ist das virtualle Dreieck, welches recht oben über den rechts-unten Quadranten hinausragt, genauso groß wie der Bereich, der dann auf der anderen Seite fehlt. Damit ist das überlappende Stück genau 1/4 vom großen Quadrat, egal wie sehr man das um den Mittelpunkt herum dreht.
stenni 24.11.2019
5. Auch die Größe des 2. Quadrats ist weitgehend egal
Um alle Überdeckungen zu ermöglichen muss die Kantenlänge des 2. Quadrats lediglich mindestens der Hälfte der Diagonale des 1. Quadrats entsprechen, also Wurzel(18)/2 oder ca 2,12
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