Rätsel der Woche Verblüffender Zifferntausch
DER SPIEGEL
Die Knobelei dieser Woche scheint auf den ersten Blick leicht lösbar zu sein. Aber unterschätzen Sie die Aufgabe nicht! Bei einer natürlichen Zahl wird die letzte Ziffer von ganz rechts nach ganz links an die neue Position eins verschoben. Dadurch ergibt sich eine Zahl mit gleich vielen Stellen, die allerdings doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl.
Blind Date mit zwei Unbekannten: 100 neue Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 4)
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30.01.2023 13.42 Uhr
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Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl, mit der diese Ziffernverschiebung klappt.
Die kleinste Lösung hat 18 Stellen und lautet: 105.263.157.894.736.842
Wir stellen die gesuchte Zahl dar als Summe 10a + b. b ist dabei eine einstellige natürliche Zahl größer als Null. a ist eine n-stellige natürliche Zahl. Die gesuchte Zahl 10a + b hat dann n+1 Stellen. Um die Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen, muss Folgendes gelten:
(10a + b)*2 = 10n * b + a
20a + 2b = 10n * b + a
a = b*(10n - 2)/19
b ist eine einstellige natürliche Zahl größer null und deshalb nicht durch 19 teilbar. Daraus folgt, dass 10n - 2 durch 19 teilbar sein muss, nur dann ist a ganzzahlig. Wenn wir die kleinste Zahl suchen, welche die Bedingungen der Aufgabe erfüllt, sollten wir also zunächst die kleinste Zahl n finden, für die 10n - 2 durch 19 teilbar ist. Oder anders gesagt:
10n muss beim Dividieren durch 19 den Rest 2 lassen.
Die Suche ist nicht so kompliziert, wie es zunächst erscheint. Wir müssen keinesfalls gigantische Zehnerpotenzen durch 19 dividieren. Wenn wir den Rest von 10n beim Teilen durch 19 kennen, können wir den Rest von 10n+1 leicht ermitteln, indem wir den Rest von 10n mit 10 multiplizieren und den Rest dieser Zahl beim Teilen durch 19 ausrechnen.
Beginnen wir mit n=1. 101 hat beim Teilen durch 19 den Rest 10.
Weiter mit n=2. 102 hat beim Teilen durch 19 den zehnfachen Rest von 101 – also 10*10 = 100. Davon ziehen wir die Vielfachen von 19 ab und kommen auf den Rest 5 (5*19=95, 100-95=5).
Nun zu n=3. 103 hat beim Teilen durch 19 den zehnfachen Rest von 102 – also 10*5 = 50. Davon ziehen wir wieder die Vielfachen von 19 ab und kommen auf den Rest 12 (2*19=38, 50-38=12).
Dieses Verfahren wiederholen wir immer wieder, bis wir hoffentlich irgendwann auf einen Rest von 2 stoßen. Und das geschieht tatsächlich bei n=17, wie folgende Tabelle zeigt (ich habe sie mit Excel erstellt, es geht aber auch per Hand):
Zurück zur Ausgangsfrage: Wir suchen die kleinste Zahl 10a + b, die halb so groß ist wie 10n * b + a. Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten a = b*(10n - 2)/19.
Die Zahl a ist das Produkt von b, einer einstelligen Zahl, und (10n - 2)/19. n = 17 ist die kleinstmögliche Zahl für n, für die a ganzzahlig ist. Die beiden gesuchten Zahlen müssten also mindestens 18-stellig sein. Wenn wir dazu noch die kleinstmögliche Zahl b finden, haben wir die Lösung.
Beginnen wir mit b=1. Für a erhalten wir die Zahl
5.263.157.894.736.842
Diese hat 16 Stellen. Wenn wir rechts noch die Ziffer b anfügen, erhalten wir die 17-stellige Ausgangszahl:
52.631.578.947.368.421
Das Doppelte dieser 17-stelligen Zahl ist die 18-stellige Zahl
105.263.157.894.736.842
Spätestens hier sehen wir, dass dies keine Lösung ist. a müsste 17-stellig sein, damit 10a+b 18-stellig ist und nach dem Verschieben der letzten Ziffer ganz nach vorn wieder eine 18-stellige Zahl entsteht. Wenn wir die 1 von 52.631.578.947.368.421 ganz nach vorn schieben, müssen wir vor der 5 zusätzlich eine 0 einfügen, damit die Rechnung aufgeht.
Mit der nächstgrößeren Zahl b=2 bekommen wir aber eine Lösung, bei der alles passt:
a = 10.526.315.789.473.684 (17-stellig)
10a + b = 105.263.157.894.736.842 (18-stellig)
(10a + b) * 2 = 210.526.315.789.473.684
Diese anspruchsvolle Aufgabe stammt vom YouTube-Kanal MindYourDecisions und wurde vom Leser Dieter Fritsche vorgeschlagen.
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