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Rätsel der Woche Verwirrspiel im Terrarium

Sieben Chamäleons leben in einem Terrarium. Wenn sich zwei unterschiedlich gefärbte Tiere treffen, nehmen beide eine andere Farbe an. Ist es möglich, dass irgendwann alle Chamäleons dieselbe Farbe haben?
Foto: Michael Niestedt / DER SPIEGEL

Chamäleons sind faszinierende Lebewesen. Die Kriechtiere können ihre Farbe wechseln. Sie tun dies allerdings nicht zur besseren Tarnung, sondern um mit Artgenossen zu kommunizieren.

Die sieben Chamäleons dieses Rätsels leben gemeinsam in einem großen Terrarium. Vier von ihnen sind rot gefärbt, zwei blau und eins ist grün. Die Tiere können jede dieser drei Farben annehmen, aber keine weitere.

Normalerweise gehen sich die Chamäleons aus dem Weg. Begegnen sich dann aber doch mal zwei Tiere, kommt es bei beiden zu einem Farbwechsel – allerdings nur, wenn beide unterschiedlich gefärbt sind. Beide nehmen dann die dritte Farbe an. Ein Beispiel: Treffen sich ein rotes und ein grünes Tier, sind sie danach beide blau.

Ist es möglich, dass nach einer gewissen Zeit alle Chamäleons im Terrarium dieselbe Farbe haben?

Doch wie ist die Situation, wenn im Terrarium sechs rote, zwei blaue und ein grünes Tier leben?

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Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Ja, bei der ersten Variante können die Tiere alle eine Farbe haben. Wenn sich ein rotes und ein blaues Tier treffen, werden daraus zwei grüne. Dann gibt es drei rote, ein blaues und drei grüne Tiere. Im nächsten Schritt müssen sich drei Paare aus je einem roten und grünen Chamäleon treffen – und danach sind alle Bewohner des Terrariums blau.

Für die Konstellation mit sechs roten Tieren, zwei blauen und einem grünen gibt es jedoch keine Lösung. Der Beweis dafür ist raffiniert. Wir müssen uns dazu genauer anschauen wie sich die Anzahl der Tiere in den unterschiedlichen Farben von Schritt zu Schritt ändert.

Bei jedem Rendezvous von zwei unterschiedlich gefärbten Tieren passiert folgendes: Die Anzahl der Tiere in den Farben der beiden verringert sich jeweils um eins. Die Anzahl der Tiere mit der dritten Farbe erhöht sich hingegen um zwei, denn beide Tiere wechseln ihre Farbe ja dahin.

Schauen wir als Nächstes auf die Differenz der Tieranzahlen nach Farbe. Diese Differenz ändert sich durch ein Rendezvous zwischen zwei Tieren stets nur um ein Vielfaches von Drei. Nehmen wir das Beispiel mit vier roten Chamäleons, zwei blauen und einem grünen. Folgende Tabelle zeigt die einzelnen Schritte:

Damit alle Tiere im Terrarium eine Farbe annehmen können, müssen zuvor die Anzahlen in zwei verschiedenen Farben gleich sein. Wenn sich diese Tiere dann paarweise treffen, nehmen sie alle die dritte Farbe an. Wenn die Anzahl bei zwei Farben gleich ist, ist ihre Differenz Null.

Weil sich, wie wir oben gesehen haben, die Differenz der Tieranzahlen immer nur um ein Vielfaches von Drei ändern kann, existiert für die Konstellation mit sechs roten Tieren, zwei blauen und einem grünen Tier keine Lösung. Denn hier betragen die Differenzen

6-2=4
6-1=5
2-1=1

Sie sind also keine Vielfachen von drei. Es ist deshalb unmöglich, dass es plötzlich Tiere zweier Farben in gleicher Anzahl gibt.

Allgemein gilt: Solange keine der drei Differenzen ein Vielfaches von drei ist, gibt es keine Lösung. Ist jedoch eine Differenz durch drei teilbar, existiert stets eine Lösung. Auch das lässt sich beweisen, zum Beispiel mit einer Fallunterscheidung.

Entdeckt habe ich diese hübsche Aufgabe auf der Webseite des Mathematikums Gießen . Dort veröffentlicht Albrecht Beutelspacher regelmäßig mathematische Knobeleien.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten zehn Folgen:

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07.10.2022 17.21 Uhr

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