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Rätsel der Woche Testen, testen, testen

3000 zufällig ausgewählte Personen sollen auf das Coronavirus getestet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein positives Ergebnis?
Foto: Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Das Coronavirus grassiert seit Monaten in Deutschland, aber zum Glück sind die Infektionszahlen inzwischen deutlich gesunken.

Immer wieder wird inzwischen über Massentests debattiert. Man könnte ja womöglich auf einige Schutzmaßnahmen verzichten, wenn die Menschen nur regelmäßig auf Infektionen untersucht werden - so die von der Fußball-Bundesliga abgeschaute Idee.

Mit welchen Ergebnissen aber dürfen wir bei Massentests rechnen? Darum geht es in dem neuen Rätsel.

Wir gehen davon aus, dass die Zahl der täglich neu Infizierten konstant ist und bei bundesweit 500 liegt. An einem Tag werden nun 3000 zufällig ausgewählte Bürger Deutschlands getestet.

Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 3000 Personen mindestens eine Person positiv getestet wurde?

Wenn Sie sich gut mit Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennen, ist das eine nicht allzu schwere Fingerübung.

Sie benötigen zur Lösung noch drei weitere Angaben. Die ersten Zahlen beiden sind Annahmen, die nicht zwingend mit realen Werten übereinstimmen müssen:

  • Infizierte sollen an 6 aufeinanderfolgenden Tagen infektiös sein. Nur an diesen 6 Tagen soll der Test, ein Abstrich im Rachen, ein positives Ergebnis liefern.

  • Die Dunkelziffer der unerkannt Infizierten soll viermal so groß sein wie die Zahl der Personen, die nach offiziellen Angaben positiv getestet wurden und in der täglichen Statistik der neu Infizierten auftauchen. 500 laut Statistik neu Infizierte pro Tag entsprechen deshalb in unserer Modellrechnung hier 2500 tatsächlich neu Infizierten.

  • Die Einwohnerzahl Deutschlands soll 83 Millionen betragen.

Noch eine Ergänzung: Wir gehen davon aus, dass der Test unserer Modellrechnung alle infektiösen Patienten zuverlässig erkennt und auch keine falsch positiven Ergebnisse liefert. Das ist natürlich eine Vereinfachung. Ob ein Infizierter positiv getestet wird, hängt auch vom Zeitpunkt des Tests ab . In der Rechnung hier gehen wir davon aus, dass alle Infizierten im Laufe der Infektion und Erkrankung über einen Zeitraum von sechs Tagen infektiös sind und an diesen sechs Tagen der Test ein positives Ergebnis liefert.

Zur Lösung bitte nach unten scrollen!

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen positiven Test beträgt 0,42.

Zunächst rechnen wir aus, wie viele Menschen an einem Tag in Deutschland infektiös sind. Das sind die Personen, bei denen der Coronatest ein positives Ergebnis liefern würde. 500 Menschen infizieren sich laut offizieller Statistik pro Tag neu. Wegen der Dunkelziffer sind es aber tatsächlich fünfmal so viele - nämlich 2500.

Hinzu kommt, dass Infizierte für 6 Tage infektiös sind. Pro Tag sind deshalb 6*2500 = 15.000 Menschen in Deutschland infektiös. Diese Zahl ist deutlich größer als die 500 neu Infizierten.

Wenn 15.000 von 83 Millionen Bürgern infektiös sind, ist eine von 5533 Personen infektiös. Mit dieser Rate können wir nun rechnen.

Wir wollen 3000 Personen testen. Wir versuchen nun jedoch nicht auszurechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau einen positiven Test ist, für genau zwei positive Tests, für genau drei positive Tests und so weiter.

Einfacher ist es, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass alle 3000 Tests negativ sind. Wenn wir diese Zahl von 1 abziehen, haben wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mindestens ein Test positiv ist.

Ein Test ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 5532/5533 = 0,999819... negativ.

3000 Tests hintereinander sind mit einer Wahrscheinlichkeit von (5532/5533) 3000 negativ. Das Ergebnis lautet 0,58.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen positiven Test beträgt deshalb 1 - 0,58 = 0,42 - also 42 Prozent.

Ergänzung: Leser haben mich zu Recht darauf hingewiesen, dass dieser Rechenweg so nur stimmt, wenn man von einer unendlich großen Bevölkerung mit einer Infektiösen-Rate von 1 zu 5533 ausgeht. Weil in Deutschland jedoch nur 83 Millionen Menschen leben, muss eine exakte Berechnung berücksichtigen, dass mit jeder getesteten Person der Pool der möglichen Testpersonen kleiner wird - und dass dies die Wahrscheinlichkeiten beeinflusst - wenn auch nur minimal. Beim Beispiel hier mit 3000 Tests ändert sich wegen ungleich höheren Bevölkerungszahl am Ergebnis jedoch praktisch nichts - es bleibt bei 42 Prozent.

Die Berechnung funktioniert wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Test negativ ist, beträgt (83.000.000 - 15.000) / 83.000.000 - das entspricht 5532 zu 5533 wie in der Rechnung oben.

Wenn Test 1 negativ war, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Test negativ ist, (83.000.000 - 15.000 - 1) / (83.000.000 - 1) - denn die erste Testperson ist ja bereits getestet und kann nicht noch einmal getestet werden.

Für Test Nummer i (i = 1...3000) gilt: p = (83.000.000 - 15.000 + 1 - i ) / (83.000.000 + 1 - i ) . Wenn wir das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten über alle i von 1 bis 3000 bilden, kommen wir auf 0,5814516 - das ist nur minimal kleiner als der Wert laut der vereinfachten Berechnung oben von 0.5814573. Ich habe für diese Berechnung ein kleines Computerprogramm geschrieben. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen positiven Test beträgt daher wie oben schon angegeben 42 Prozent.

Wenn wir also mehrmals 3000 zufällig ausgewählte Menschen testen, wird es in mehr als der Hälfte der Fälle nur negative Ergebnisse geben.

Das Gymnasium Carolinum in Neustrelitz machte kürzlich weltweit Schlagzeilen, weil sich dort alle rund 1000 Schüler zweimal pro Woche freiwillig testen lassen können.

Bislang ist kein positiver Test bekannt geworden. Alles andere wäre allerdings auch eine Überraschung, denn die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen positiven Test ist klein. Rechnet man mit der bundesweiten Infektionsrate (500 neu Infizierte pro Tag), liegt das Ergebnis bei 16,5 Prozent.

Weil es in Mecklenburg-Vorpommern jedoch deutlich weniger Infektionen als im Bundesdurchschnitt gibt, ist der Wert noch einmal deutlich kleiner. In den letzten Tagen meldete das Bundesland sogar mehrfach als Neuinfektionszahl eine Null.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - hier sind die jüngsten zehn Folgen:

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Dambeck, Holger

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