Rätsel der Woche Welche Zahl folgt als Nächste?
DER SPIEGEL
Mathematiker suchen nach Mustern und versuchen sie zu verstehen. Beim neuen Rätsel können Sie selbst zum Detektiv werden. Gegeben ist eine Folge natürlicher Zahlen. Sie beginnt mit 1, dann folgen 11 und 21 – siehe Bild oben.
Blind Date mit zwei Unbekannten: 100 neue Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 4)
Weiter geht es mit zwei vierstelligen und zwei sechsstelligen Zahlen. Erkennen Sie ein Muster? Wie geht die Folge weiter? Wie lautet die hundertste Zahl?
1
11
21
1112
3112
211.213
312.213
?
Die nächste Zahl in der Folge lautet 212.223. Die hundertste Zahl ist 21.322.314.
Jede Zahl gibt an, wie oft in der Zahl davor die einzelnen Ziffern dieser Zahl auftauchen. Beginnen wir mit der ersten Zahl in der Folge – der 1. Wir schreiben vor jede Ziffer beginnend mit der 1 ihre Anzahl – in diesem Falle also 1x1. Die Ziffern dieser Darstellung bilden die Ziffern der nächsten Zahl in der Folge. Deshalb steht an zweiter Stelle die 11.
Die 11 besteht aus zweimal der Ziffer 1, also 2x1. Also ist die nächste Zahl die 21. In der 21 gibt es eine 1 und eine 2, also 1x1 und 1x2. Deshalb steht als vierte Zahl in der Folge die 1112. Folgende Tabelle zeigt die ersten 14 Zahlen der Folge:
Zahl | Ziffern | Nachfolger |
1 | 1x1 | 11 |
11 | 2x1 | 21 |
21 | 1x1 1x2 | 1112 |
1112 | 3x1 1x2 | 3112 |
3112 | 2x1 1x2 1x3 | 211.213 |
211.213 | 3x1 2x2 1x3 | 312.213 |
312.213 | 2x1 2x2 2x3 | 212.223 |
212.223 | 1x1 4x2 1x3 | 114.213 |
114.213 | 3x1 1x2 1x3 1x4 | 31.121.314 |
31.121.314 | 4x1 1x2 2x3 1x4 | 41.122.314 |
41.122.314 | 3x1 2x2 1x3 2x4 | 31.221.324 |
31.221.324 | 2x1 3x2 2x3 1x4 | 21.322.314 |
21.322.314 | 2x1 3x2 2x3 1x4 | 21.322.314 |
21.322.314 | 2x1 3x2 2x3 1x4 | 21.322.314 |
Wir kennen nun auch die hundertste Zahl, weil die Folge sich ab dem 14. Glied nicht mehr ändert. Aus der Zahl 21.322.314 erhalten wir nach der beschriebenen Regel wieder die Zahl 21.322.314.
Diese raffinierte Folge habe ich im Buch »The Bogotá Puzzles« von Bernado Recamán entdeckt. Ein Leser hat mich eine frühere Quelle hingewiesen. Der eigentliche Ursprung von Rätseln lässt sich jedoch in vielen Fällen nicht zweifelsfrei klären.
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
