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Rätsel der Woche Wie groß ist die blaue Fläche?

Im Innern eines Quadrats umschließen vier Kreisbögen eine blau gefärbte Fläche. Welche Größe hat diese, wenn das Quadrat eine Kantenlänge von 1 hat?
Foto:

DER SPIEGEL

Wenn Kreise und Quadrate zusammenkommen, kann es schon mal unübersichtlich werden. Die Figur oben ist ein schönes Beispiel dafür: Vier Kreisbögen bilden ein sogenanntes Bogenquadrat. Es hat vier Ecken wie ein Quadrat – aber seine Kanten sind nicht gerade, sondern Kreisbögen.

In der Zeichnung ist das Bogenquadrat blau hervorgehoben. Die Kantenlänge des Quadrats, in dem die vier Kreisbögen liegen, soll genau 1 betragen.

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Wie groß ist die Fläche des Bogenquadrats?

Foto:

Michael Niestedt/ DER SPIEGEL

Der Fläche hat eine Größe von knapp einem Drittel. Der genaue Wert ist Pi/3 + 1 – Wurzel(3) = 0,315...

Es gibt verschiedene Lösungswege, die teils auch viel Rechnerei erfordern. Folgende Lösung finde ich ziemlich elegant, setzt allerdings ein genaues Hineindenken voraus. Wir zeichnen in das Quadrat seinen Mittelpunkt ein und nennen ihn O. Die Ecken des Quadrats bezeichnen wir mit A, B, C, D. Zudem bezeichnen wir zwei Ecken des Bogenquadrats mit E und G sowie die Punkte auf der jeweils gegenüberliegenden Seite mit F und H. Als Kreisfläche bezeichnen wir die Fläche des Kreises mit dem Radius 1 – 1 ist auch die Kantenlänge des Quadrats und der Radius der vier Kreisbögen.

Foto:

DER SPIEGEL

Dann gilt

1) Fläche Figur BGH = Kreisfläche/6 – halbe Fläche des gleichseitigen Dreiecks BGC (Kantenlänge 1)

Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks BGC beträgt Wurzel(3)/2. Seine Fläche beträgt g*h/2 = Wurzel(3)/4. Davon die Hälfte ist Wurzel(3)/8. Also erhalten wir:

BGH = Pi/6 – Wurzel(3)/8

2) 2 * Fläche Figur BGH + Fläche Quadrat HCFO = Kreisfläche/4 + Bogenquadratfläche/4

Wir setzen die Fläche von BGH aus 1) ein:

2*(Pi/6 – Wurzel(3)/8) + 1/4 = Pi/4 + Bogenquadratfläche/4

Wir stellen nun nach Bogenquadratfläche um:

Bogenquadratfläche = Pi/3 + 1 – Wurzel(3)

Auf dieses Rätsel bin ich schon in mehreren Büchern und auch in Internet gestoßen. Die Lösung stammt aus dem Buch »Garten der Sphinx« von Pierre Berloquin.

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