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Rätsel der Woche Winkelsumme gesucht

Zwei gleichseitige Dreiecke stehen nebeneinander, mehrere Eckpunkte sind miteinander verbunden. Wie groß ist die Summe der beiden grünen Winkel?
Foto:

DER SPIEGEL

Gleichseitige Dreiecke haben faszinierende Eigenschaften. Beispielsweise kann man mit ihnen wunderbar lückenlos eine Fläche parkettieren. Fügt man sechs gleichseitige Dreiecke an einer gemeinsamen Spitze zusammen, erhält man ein regelmäßiges Sechseck.

Im folgenden Rätsel stehen zwei unterschiedlich große gleichseitige Dreiecke nebeneinander. Ihre oberen Eckpunkte sind mit dem äußeren Eckpunkt des jeweils anderen Dreiecks verbunden – siehe Zeichnung oben.

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Dambeck, Holger

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Dadurch entstehen zwei Winkel, die hell- und dunkelgrün markiert sind. Wie groß ist die Summe der beiden grünen Winkel?

Die Summe der zwei grünen Winkel beträgt 60 Grad.

Wir erweitern die beiden Dreiecke zu einem großen gleichseitigen Dreieck, dessen Seiten so lang sind wie die Summe der Seitenlängen a und b der beiden gegebenen Dreiecke. Zusätzlich verbinden wir den neu entstandenen oberen Eckpunkt mit dem Punkt, an den die beiden ursprünglich gegebenen Dreiecke einander berühren – siehe folgende Zeichnung.

Foto: DER SPIEGEL

Nun können wir leicht zeigen, dass die beiden Winkel am oberen Eckpunkt des neuen, großen gleichseitigen Dreiecks genauso groß sind wie die beiden gegebenen grünen Winkel. Warum?

Wir schauen zunächst nur auf die beiden hellgrün markierten Winkel unten rechts und oben rechts. Die beiden Dreiecke mit dem spitzen hellgrünen Winkel und der gegenüberliegenden hellgrünen Seite b haben als Seitenlängen b und a+b. Der Winkel zwischen diesen beiden Seiten beträgt 60 Grad. Beide Dreiecke sind deshalb kongruent, daher müssen auch die beiden hellgrün markierten Winkel gleich groß sein. Analog gilt, dass die beiden dunkelgrün markierten Winkel gleich groß sind.

Weil der dunkelgrüne und der hellgrüne Winkel zusammen den oberen Innenwinkel des großen gleichseitigen Dreiecks bilden, ist ihre Summe 60 Grad groß.

Entdeckt habe ich diese Knobelei in einer Facebook-Gruppe mit Geometrierätseln, sie geht auf Ronny Sarker  zurück.

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