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Rätsel der Woche Wundersames Händeschütteln

Auf einem Abendempfang begrüßen sich die Menschen herzlich – und geben sich ganz klassisch die Hand. Eine Mathematikerin macht eine verblüffende Beobachtung.
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DER SPIEGEL

Der Weltverband der Kombinatoriker trifft sich zu seinem Jahreskongress. Am ersten Abend sollte jede anwesende Person jeder anderen einmal die Hand schütteln. Eine schöne Idee, gäbe es da nicht diverse Animositäten: Die einen mögen Variationen ohne Wiederholung, die anderen Kombinationen mit Wiederholung. Und manche wollen am liebsten nur über Permutationen reden. Die verschiedenen Lager bleiben daher am Abend weitgehend unter sich.

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Als der Empfang beendet ist, stellt die italienische Kombinatorikerin Lotta Facultati eine kühne Behauptung auf: »Die Anzahl der Anwesenden, die einer ungeraden Zahl von Menschen die Hand gegeben hat, ist gerade.«

Hat sie recht?

Hinweis: Es gab auf dem Abendempfang mindestens einen Handshake. Und es gab mindestens zwei Anwesende, die einander nicht die Hand gereicht haben.

Lotta Facultatis Behauptung stimmt.

Es gibt verschiedene Wege, das zu beweisen. Etwa mit der Methode der vollständigen Induktion: Hat es nur einen einzigen Handshake gegeben, trifft Facultatis Aussage zu. Und wenn die Zahl der Personen mit ungerader Handschlag-Anzahl gerade ist, ändert sich das nicht, wenn ein neuer Kontakt dazu kommt.

Martin Gardner beschreibt in seinem Buch »My best mathematical and logicial Puzzles« eine andere Lösung, die ich sehr elegant finde: Die Summe der von allen Anwesenden gezählten Handshakes ist eine gerade Zahl, weil an jedem Händedruck immer zwei Personen beteiligt sind und ein Händedruck deshalb immer doppelt gezählt wird. Von dieser Zahl ziehen wir alle Handshakes ab von Personen mit einer geraden Anzahl geschüttelter Hände. Das Ergebnis ist eine gerade Zahl und zugleich die Summe der Handshakes aller Personen mit einer ungeraden Handshake-Anzahl. Eine Summe ungerader Zahlen ist jedoch nur gerade, wenn die Anzahl der addierten ungeraden Zahlen gerade ist.

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