Rätsel der Woche Zwei Hände und 30 Muscheln
DER SPIEGEL
Muscheln können mathematisch anspruchsvoll sein – nicht nur wegen ihrer faszinierenden Formen und Muster. Ein Kind nutzt 30 kleine Muscheln für eine nicht ganz einfache Rechenaufgabe.
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Das Kind hält den größeren Teil der 30 Muscheln in der linken Hand und den Rest in der rechten. Dann berechnet es für jede Hand einzeln die Summe aus
der Anzahl der Muscheln in dieser Hand,
dem Quadrat der Anzahl in dieser Hand,
der dritten Potenz der Anzahl in dieser Hand.
Beide Summen addiert ergeben 8058.
Wie ist die genaue Verteilung der 30 Muscheln über beide Hände?
In der linken Hand hat das Kind 18 Muscheln und in rechten Hand 12.
Eine denkbare Lösung wäre, alle möglichen Verteilungen durchzuprobieren, also 29 und 1, 28 und 2 und so weiter. Das ist allerdings ziemlich viel Rechnerei, sofern man dabei nicht Hilfsmittel wie Excel benutzt.
Es gibt Lösungen, die auf elegante Weise die binomischen Formeln nutzen. Eine längere Variante, mein ursprünglicher Lösungsvorschlag, finden Sie weiter unten als Variante 2. Zwei Leser haben noch einen kürzeren Weg gefunden:
Variante 1
x ist die Anzahl der Muscheln in der linken Hand, 30 - x die Anzahl in der rechten Hand. Dann gilt:
x + x2 + x3 + 30 - x + (30 - x)2 + (30 - x)3 = 8058
Wir nutzen nun die binomische Formel für dritte Potenzen: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
x3 fällt wegen der Vorzeichen + und - heraus. Wir erhalten eine normale quadratische Gleichung.
30 + 2x2 + 900 - 60x + 27000 - 2700x + 90x2 = 8058
92x2 - 2760x + 19872 = 0
x2 - 30x + 216 = 0
Diese Gleichung hat die Lösungen x = 12 und x = 18. Weil in der linken Hand mehr Muscheln sind, ist die Verteilung links 18 und rechts 12.
Variante 2
Es gilt:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Wir können beide Gleichungen umformen, sodass auf der einen Seite nur die Potenzen von a und b stehen:
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
Mit x und y bezeichnen wir die Zahl der Muscheln in der linken und rechten Hand. x + y ergibt 30. Dann muss folgendes gelten:
x + x2 + x3 + y + y2 + y3 = 8058
x + y + x2 + y2 + x3 + y3 = 8058
Nun setzen wir die umgeformten binomischen Gleichungen (siehe oben) für x2 + y2 und x3 + y3 ein.
x + y + (x + y)2 - 2xy + (x + y)3 - 3xy(x + y) = 8058
Wir setzen x+y = 30 ein und erhalten:
30 + 900 - 2xy + 27000 - 90xy = 8058
27930 - 8058 = 92xy
19872 = 92xy
xy = 216
Nun sind wir so gut wie fertig. Mit x+y = 30 und xy = 216 müssen wir nur noch die quadratische Gleichung
x(30-x) = 216
x2 - 30x + 216 = 0
lösen. Sie hat zwei Lösungen: x = 18 und x = 12. Weil in der linken Hand die Zahl der Muscheln größer ist als rechts, ist x = 18 und y = 12 das Ergebnis.
Entdeckt habe ich dieses Rätsel im Buch »Famous Puzzles of Great Mathematicians« von Miodrag Petković.
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:
Hinweis: Ein falsches Vorzeichen in der Gleichung a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 wurde korrigiert.
Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
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