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MATHEMATIK Süßes Gift

318 Jahre nach seiner Veröffentlichung glauben die Mathematiker eines der großen Rätsel ihrer Wissenschaft gelöst zu haben: »Fermats letztes Theorem«. *
aus DER SPIEGEL 12/1988

Stunde um Stunde kratzte die Feder des jungen Franzosen über Papier. Im Morgengrauen legte Evariste Galois den Federhalter aus der Hand und eilte zu seiner letzten Verabredung - wenig später fiel der 20jährige im Duell. Als das Genie im Mai 1832 in einem anonymen Grab verscharrt wurde, blieben die 31 Seiten Manuskript aus jener Nacht: »Ce gachis«, das »Wirrwarr«, so Galois, enthielt die Theorie der Gruppen, ein mathematisches Jahrhundertwerk.

An den Rand einer Buchseite gekritzelt hatte Galois-Landsmann Pierre de Fermat seinen Einfall. Eine mathematische Marginalie ohne tiefere Bedeutung, die niederzuschreiben nicht mehr Muße verlangte, als zwischen Dessert und Kaffee liegt. Doch das Schicksal entlohnte die Gelegenheitsfrucht reichlich: Kennen nur mehr esoterische mathematische Zirkel den Namen Galois, so glänzt der Stern Fermats in unvergänglichem Ruhm.

Seit der Sohn des Hobby-Mathematikers 1670 die Randkrakel des fünf Jahre vorher verstorbenen Vaters veröffentlichte, mühten sich Generationen gestandener Mathematiker, Heerscharen gebildeter Laien und mathematischer Analphabeten, »Fermats letztes Theorem« zu lösen - vergeblich.

Nun dürfte der japanische Mathematiker Yoichi Miyaoka den Spuk um Fermats vertrackte Hinterlassenschaft endgültig beendet haben. Seit der 38jährige Forscher aus Tokio seine gut 20 Seiten umfassende Arbeit am Mittwoch letzter Woche verlegte, prüfen Experten in Bonn, Paris und an den US-Lehranstalten von Princeton und Harvard Miyaokas Beweis des Fermatschen Satzes - nach einer ersten Durchsicht fand das mathematische Richter-Kollegium keinen Fehl im Formelwerk.

Schon als Miyaoka, derzeit Gastforscher am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn, Ende letzten Monats seine Arbeit mündlich vortrug, nickten die Kollegen beifällig: Miyaoka, so der Eindruck, hatte jenes letzte Mosaiksteinchen verfertigt, das neben den Vorleistungen des sow jetischen Mathematikers A. N. Parschin zum Beweis des berüchtigten Theorems noch fehlte.

318 Jahre nach seiner veröffentlichung endet damit vermutlich das Kapitel um ein mathematisches Bubenstück. Als Fermat seine Randbemerkung notierte, verfuhr der Richter am Toulouser Parlament nach Art eines Possenreißers, der aus Dollerei einen Fensterrahmen vom Dachsims eines Schlosses baumeln läßt, um sodann die Baumeister zu ermuntern, doch einen prächtigen Erker um das Holzgeviert zu errichten.

Angeregt durch Anmerkungen zur Gleichung des Pythagoras, wonach Quadratzahlen in die Summe zweier anderer Quadratzahlen zu zerlegen seien ("a2+b2= c2"), folgerte Fermat, daß es unmöglich sei, » ... eine Potenz, höher als die zweite, in zwei Potenzen mit ebendemselben Exponenten zu zerlegen«.

Unendlich viele ganze Zahlen (etwa 32 + 42 = 52) erfüllen die Gleichung des Pythagoras. Die Weiterung a + b = c jedoch, so Fermat, habe für ganze, von Null verschiedene Zahlen a, b und c sowie ganzzahlige Exponenten größer als 2 keine Lösung. Er habe, notierte Fermat vermutlich im Jahre 1637, zwar einen »wahrhaft wunderbaren Beweis« für seine Behauptung, »doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen«.

Die Randnote des begnadeten Freizeit-Mathematikers war eitles Blendwerk. Hatte das Genie Galois mit seiner Theorie der Gruppen der Mathematik gleichsam ein eingerichtetes Arbeitszimmer hinterlassen, so stiftete Arbeitszimmer hinterlassen, so stiftete Fermat mit seinem Theorem nur einen Fensterrahmen ohne Ummauerung. Bis vor wenigen Jahren, merkte etwa der deutsche Mathematiker Gerhard Frey an, gab es

»kein mathematisches Rüstzeug, um Fermats Theorem zu beweisen«.

Einer der ersten, der die Tücke des Fermatschen Vermächtnisses durchschaute, war Karl Friedrich Gauß. Gauß, der wohl bedeutendste Mathematiker aller Zeiten, hatte es zu Beginn des 19. Jahrhunderts abgelehnt, sich am Beweis des Franzosen-Satzes zu versuchen. Fermats Theorem, erklärte Gauß, sei »von äußerst geringem Interesse«, und: »Ich könnte eine Vielzahl solcher Behauptungen aufstellen, die weder zu beweisen noch zu widerlegen sind.«

Andere Große der Zahlenzunft erlagen dem süßen Gift des Fermatschen Rätsels. Baustein auf Baustein setzten Forscher wie der Schweizer Gelehrte Leonhard Euler (1770), der Franzose Adrien Legendre (1823) und der deutsche Zahlentheoretiker Ernst Kummer (1847), um Fermats Theorem in das Gebäude der Mathematik einzubinden.

So verstand es Kummer mit einer von ihm geschaffenen Klasse von Zahlen ("idealen Zahlen"), Fermats Aussage für Exponenten bis zur Zahl 100 zu beweisen. Auch für höhere Exponenten taugte der geniale Ansatz - nur den allgemeinen Beweis, das erkannte Kummer, vermochte die Methode nicht zu liefern.

Andere Zahlenkundige versuchten in den letzten Jahren Fermats Hirnverdreher mit schierer Gewalt beizukommen. So demonstrierten US-Mathematiker mit der Hilfe von Supercomputern, daß Fermats Vermutung bis zum Exponenten 150 000 standhält. Ein wichtiges, aber auch rührendes Unterfangen: Was bedeuten die Hochzahlen von 3 bis 150 000 in einem Zahlenkosmos, der unendlich viele Bausteine kennt?

Den vermutlich entscheidenden Durchbruch erzielte 1983 ein junger deutscher Mathematiker, der Fermats Theorem nicht einmal im Sinn hatte - Gerd Faltings. Das damals 29jährige Ausnahmetalent hatte mit der sogenannten Mordellschen Vermutung einen bedeutenden, 1922 aufgestellten Satz bewiesen (SPIEGEL 27/1983).

Mit der Mordell-Lösung grenzte Faltings, der 1986 mit der höchsten Mathematiker-Ehrung, der Fields-Medaille, ausgezeichnet wurde, zugleich das Fermatsche Problem ein: Wenn es denn im unendlichen Universum der ganzen Zahlen Ausnahmen von der Fermatschen Vermutung geben sollte - die Gleichung also für Exponenten größer als 2 Lösungen besitzt -, dann konnte dies für jeden Exponenten nur für eine begrenzte Menge von Zahlen zutreffen.

Auf demselben jungen Gebiet der Mathematik, auf dem Faltings seinen Beweis führte - dem Grenzbereich, in dem die algebraische Geometrie mit der altehrwürdigen Zahlentheorie zu einem Denkgebäude verschmilzt -, tat auch der sowjetische Mathematiker Parschin seinen bedeutenden Schritt.

Im letzten Jahr entwickelte er eine elegante Theorie, die auch Fermats letzte Behauptung umfaßt. Nur ein wichtiger Baustein fehlte Parschin zu seinem Brückenschlag zwischen der modernen Mathematik und dem Juristen aus Toulouse - gelänge es, diesen Schlußstein zu formen, das bewies Parschin, so sei auch Fermats letztes Theorem gelöst.

In Bonn legte nun Miyaoka den fehlenden Quader zum Bau der logischen Brücke vor. Das jedenfalls vermuten die wenigen Experten, die kundig in dem Grenzland der »arithmetischen Geometrie« zu wandeln verstehen.

Hält Miyaokas Mühe der Prüfung der hohen Richter stand, verliert die Mathematik ein liebgewonnenes Rätsel. Die Lösung für Fermats letztes Theorem, umschrieb es der US-Mathematiker Don Zagier - das sei so etwas wie »die Suche nach dem Heiligen Gral«.

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