Mathematik-Olympiade 2019 Können Sie diese Knobel-Aufgaben lösen?

Teilnehmerin im Bundesfinale der Mathe-Olympiade
Ingo Wagner / DPA

Teilnehmerin im Bundesfinale der Mathe-Olympiade

2. Teil: Hier geht es zu den Lösungen


Die Lösung zu Aufgabe Nummer 1:

Schnittmengen führen bei dieser Aufgabe zum Erfolg. Von den 250 Teilnehmern der Umfrage haben 95 kein Modell mit "gut" bewertet. Es bleiben also noch 155 Personen übrig.

Um deren Bewertung der Handymodelle zu erfahren, zeichnen wir drei Kreise auf, jeder steht für eins der Modelle A, B und C. Nun tragen wir alle bekannten Größen ein: 15 Teilnehmer fanden alle Modelle gut, sie bilden die Schnittmenge aus allen drei Kreisen. 25 Teilnehmer mochten die Modelle A und C, wir ziehen die Schnittmenge aller Kreise ab: 25-15=10 und tragen diese Größe ein. 35 Teilnehmer mochten B und C, wir ziehen die Schnittmenge aller Kreise ab: 35-15=20 und tragen diese Größe ein.

Schnittmengen der bekannte Größen
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Schnittmengen der bekannte Größen

Achtung bei der Angabe: "Genau 40 Testteilnehmer bewerteten das Modell A mit 'gut'." Das bedeutet nicht, dass die Personen ausschließlich das Modell A mochten. Zusätzlich bewerteten sie auch andere Modelle als "gut". Durch unsere Schnittmengen können wir aber erkennen, dass insgesamt 30 Personen (10+15+5) unter anderem das Modell A als "gut" bewerteten. Fehlen noch 10, um auf die Gesamtzahl von 40 zu kommen. 10 Teilnehmer haben also ausschließlich das Modell A mit "gut" bewertet.

Um die letzte Unbekannte zu erfahren, addieren wir nun alle Zahlen, die bisher in unseren Kreisen stehen. Das Ergebnis: 100. Bleiben noch 55 übrig, um auf die Gesamtzahl von 155 Bewertungen zu kommen. 55 Personen bewerteten ausschließlich das Modell C als "gut".

Lösung zu Aufgabe Nummer 1
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Lösung zu Aufgabe Nummer 1

Lösung zu Aufgabe Nummer 2:

a)

Bezeichnet man die Anzahl der Berater mit n, so beträgt die Anzahl der Paare von Beratern

n(n-1)/2 = 1653.

Die Gleichung kann nur eine positive Lösung haben, da n(n-1) bzw. n²-n mit steigendem positiven n wächst. Da 3306 etwas kleiner als 60² (3600) ist und damit kleiner als 61*60 ist, muss das gesuchte n kleiner sein als 61. Man kann also bei n=60 beginnen und sukzessive kleinere Werte probieren. Allerdings endet das Ergebnis von 60*59 auf 0 und das Ergebnis von 59*58 auf 2. Auf die richtige Lösung kommt man beim Ergebnis von 58*57. Die Lösung n=58 ist damit korrekt.

b)

Jeder Berater soll mit jedem anderen Berater genau einmal arbeiten. Daraus ergibt sich: n-1 = 57. Nach dem Schubfachprinzip muss er an mindestens einem Projekt mindestens 57/5 -mal, d.h. 12-mal arbeiten.

m ist damit 12 .

Andererseits gibt es einen Arbeitsplan, für den m=12 gilt. Wir bezeichnen die Berater mit B(k), 1 k 58 und die fünf Projekte mit 1,2,3,4,5.

Die Berater B(k) und B(l) sollen gemeinsam am Projekt i {1, …, 5} arbeiten, wenn die Gleichung

k+l i (mod 5) gilt.

Dann gilt offensichtlich, dass jeder Berater an jedem Projekt genau 11- oder 12-mal arbeitet.

Denn an welchem der 1653 Tage welches der Beraterpaare arbeitet, muss der Aufgabe zufolge nicht berücksichtigt werden.

fek/lmd



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