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15. Mai 2019, 18:40 Uhr

Mathematik-Olympiade 2019

Können Sie diese Knobel-Aufgaben lösen?

Nur einer von Tausend Schülern hat es bei der diesjährigen Mathe-Olympiade ins Finale geschafft. Gelingt es Ihnen, eine Knobelei aus der Endrunde zu lösen?

Die Aufgaben der 58. Mathematik-Olympiade dürften bei den Teilnehmern für rauchende Köpfe gesorgt haben. 197 Schüler hatten es bis in die vierte und letzte Runde nach Chemnitz geschafft, wo sie sich nochmals in zwei viereinhalbstündigen Klausuren beweisen mussten.

Und die Knobeleien hatten es in sich. In der Finalprüfung finden sich neben Gleichungen und Geometrie auch vertrackte Alltagssituationen, die sich nur mit mathematischem Geschick lösen lassen.

Es brauche "Kreativität und Spaß im Umgang mit komplexen mathematischen Problemen", sagte Patrick Bauermann, der die Geschäftsstelle der Olympiade leitet. Der Wettbewerb wird seit dem Schuljahr 1961/62 ausgetragen.

81 Nachwuchsmathematikern gelangen die Aufgaben der Endrunde so gut, dass sie mit einer Medaille ausgezeichnet wurden und nun die Chance haben, sich für die Internationale Mathematik-Olympiade 2020 in Russland zu qualifizieren.

Könnten auch Sie den Weg nach Russland antreten? Testen Sie Ihre Knobel-Fertigkeiten an einer aktuellen Aufgabe der diesjährigen Mathe-Olympiade.

Eine Auflösung und Erklärung gibt es auf der nächsten Seite.

Aufgabe Nummer 1:

Ein Handyhersteller führte eine Umfrage zur Bedienerfreundlichkeit seiner drei Modelle A, B und C durch. Von den Testteilnehmern wurden die jeweiligen Handys entweder mit "gut" oder mit "nicht gut" bewertet. Nach der Auswertung der Umfrage stellt er fest:

Genau 250 Personen nahmen am Test teil. Mit "gut" bewerteten genau 15 Testteilnehmer alle drei Modelle, genau 35 Testteilnehmer die Modelle B und C, genau fünf Testteilnehmer die Modelle A und B, aber nicht das Modell C, genau 25 Testteilnehmer die Modelle A und C, genau 40 Testteilnehmer nur das Modell B, genau 40 Testteilnehmer das Modell A und genau 95 Testteilnehmer keines der drei Modelle.

a) Bestimmen Sie die Anzahl der Testteilnehmer, die nur das Modell A mit "gut" bewerteten.

b) Bestimmen Sie die Anzahl der Testteilnehmer, die nur das Modell C mit "gut" bewerteten.

Aufgabe Nummer 2:

In der M.O.Consulting arbeiten mehrere Berater an fünf Projekten. Dabei gehen sie nach sehr merkwürdigen Regeln vor: Jeder Berater arbeitet mit jedem anderen an genau einem Tag zusammen, und zwar an genau einem der Projekte. An jedem Arbeitstag arbeiten genau zwei Berater, alle anderen haben an diesem Tag frei und machen eine schöpferische Pause. Insgesamt wird auf diese Weise an 1653 Tagen gearbeitet.

Der Chef Martin O. möchte einen Arbeitsplan erstellen, in dem festgelegt wird, welcher Berater an welchem Tag in welchem Projekt arbeitet. Hierbei muss er sich an obige Regeln halten, ansonsten hat er in der Ausgestaltung freie Hand. Um Ermüdungserscheinungen vorzubeugen, will er verhindern, dass ein Berater allzu oft an demselben Projekt arbeiten muss.

a) Wie viele Berater arbeiten bei M.O.Consulting?

b) Welches ist die kleinste natürliche Zahl m, für die der Arbeitsplan so gestaltet werden kann, dass an jedem Projekt von jedem Berater höchstens m Mal gearbeitet wird?

Hier geht es zu den Lösungen

Die Lösung zu Aufgabe Nummer 1:

Schnittmengen führen bei dieser Aufgabe zum Erfolg. Von den 250 Teilnehmern der Umfrage haben 95 kein Modell mit "gut" bewertet. Es bleiben also noch 155 Personen übrig.

Um deren Bewertung der Handymodelle zu erfahren, zeichnen wir drei Kreise auf, jeder steht für eins der Modelle A, B und C. Nun tragen wir alle bekannten Größen ein: 15 Teilnehmer fanden alle Modelle gut, sie bilden die Schnittmenge aus allen drei Kreisen. 25 Teilnehmer mochten die Modelle A und C, wir ziehen die Schnittmenge aller Kreise ab: 25-15=10 und tragen diese Größe ein. 35 Teilnehmer mochten B und C, wir ziehen die Schnittmenge aller Kreise ab: 35-15=20 und tragen diese Größe ein.

Achtung bei der Angabe: "Genau 40 Testteilnehmer bewerteten das Modell A mit 'gut'." Das bedeutet nicht, dass die Personen ausschließlich das Modell A mochten. Zusätzlich bewerteten sie auch andere Modelle als "gut". Durch unsere Schnittmengen können wir aber erkennen, dass insgesamt 30 Personen (10+15+5) unter anderem das Modell A als "gut" bewerteten. Fehlen noch 10, um auf die Gesamtzahl von 40 zu kommen. 10 Teilnehmer haben also ausschließlich das Modell A mit "gut" bewertet.

Um die letzte Unbekannte zu erfahren, addieren wir nun alle Zahlen, die bisher in unseren Kreisen stehen. Das Ergebnis: 100. Bleiben noch 55 übrig, um auf die Gesamtzahl von 155 Bewertungen zu kommen. 55 Personen bewerteten ausschließlich das Modell C als "gut".

Lösung zu Aufgabe Nummer 2:

a)

Bezeichnet man die Anzahl der Berater mit n, so beträgt die Anzahl der Paare von Beratern

n(n-1)/2 = 1653.

Die Gleichung kann nur eine positive Lösung haben, da n(n-1) bzw. n²-n mit steigendem positiven n wächst. Da 3306 etwas kleiner als 60² (3600) ist und damit kleiner als 61*60 ist, muss das gesuchte n kleiner sein als 61. Man kann also bei n=60 beginnen und sukzessive kleinere Werte probieren. Allerdings endet das Ergebnis von 60*59 auf 0 und das Ergebnis von 59*58 auf 2. Auf die richtige Lösung kommt man beim Ergebnis von 58*57. Die Lösung n=58 ist damit korrekt.

b)

Jeder Berater soll mit jedem anderen Berater genau einmal arbeiten. Daraus ergibt sich: n-1 = 57. Nach dem Schubfachprinzip muss er an mindestens einem Projekt mindestens 57/5 -mal, d.h. 12-mal arbeiten.

m ist damit 12 .

Andererseits gibt es einen Arbeitsplan, für den m=12 gilt. Wir bezeichnen die Berater mit B(k), 1 k 58 und die fünf Projekte mit 1,2,3,4,5.

Die Berater B(k) und B(l) sollen gemeinsam am Projekt i {1, …, 5} arbeiten, wenn die Gleichung

k+l i (mod 5) gilt.

Dann gilt offensichtlich, dass jeder Berater an jedem Projekt genau 11- oder 12-mal arbeitet.

Denn an welchem der 1653 Tage welches der Beraterpaare arbeitet, muss der Aufgabe zufolge nicht berücksichtigt werden.

fek/lmd

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