Rätsel der Woche Ein blaues Wunder

SPIEGEL ONLINE

Von und (Grafik)

2. Teil: Hier geht es zur Lösung


Ganz gleich wann Antonia die weiße Kugel gezogen hat - die Wahrscheinlichkeit für 99 blaue und eine weiße Kugel ist immer gleich.

Das hat mich zunächst auch verblüfft, weil die Chancen auf das Ziehen einer weißen Kugel ja zu Beginn größer zu sein scheinen als am Ende. Aber die genaue Berechnung zeigt, dass unsere Intuition uns hier einen Streich spielt.

Wir schauen uns zunächst zwei Extremfälle an:

A) Die weiße Kugel wird als erste Kugel gezogen, danach folgt 99 Mal Blau.

B) Zuerst wird 99 Mal Blau gezogen und dann im letzten Zug Weiß.

Fall A:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür ist ein Produkt aus 100 Einzelwahrscheinlichkeiten, die dafür stehen, dass jeder der 100 Züge so abläuft wie in diesem Fall beschrieben.

Der erste Faktor gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die erste gezogene Kugel weiß ist. In der Schale liegen eine weiße und eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeit ist daher 1/2.

Im zweiten Zug wird eine blaue Kugel gezogen. Bei nun zwei weißen und einer blauen Kugel in der Schale beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür 1/3.

Im dritten Zug wird wieder eine blaue Kugel gezogen (und in allen weiteren auch). In der Schale befinden sich zwei blaue und zwei weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist deshalb 2/4.

So geht das immer weiter: Im fünften Zug liegt die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel bei 3/5, im sechsten Zug bei 4/6 … und im hundertsten Zug beträgt sie 99/101.

Nun multiplizieren wir diese 100 Brüche miteinander und erhalten die Gesamtwahrscheinlichkeit p für den Fall A:

p = 1*1*2*3*...*99/(2*3*4*5*...*101)

Wenn Sie mit Fakultäten vertraut sind, können Sie auch schreiben:

p = 99!/101!

Das Ergebnis lautet dann:

P = 1/(100*101)

Fall B:

Wir ziehen 99 Mal Blau und erst am Ende einmal Weiß.

Im ersten Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau 1/2. Im zweiten Zug, nun liegen zwei blaue und eine weiße Kugel in der Schale, liegt der Wert bei 2/3. Im dritten Zug erhält man 3/4 - und so geht es weiter bis zum 99. Zug, bei dem die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel 99/100 beträgt.

Im letzten Zug zieht Antonia die weiße Kugel. In der Schale liegen 100 blaue und eine weiße - die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb 1/101.

Multipliziert man all diese 100 Brüche miteinander, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit p für den Fall B:

p = 1*2*3*4*...*99*1/(2*3*4*5*...*101)

Wir sehen sofort, dass das Ergebnis identisch ist mit dem von Fall A. Unterm Bruchstrich steht das Produkt aller Zahlen von 1 bis 101 (= 101!). Überm Bruchstrich stehen dieselben Faktoren wie im Fall A - nur dass eine 1 erst ganz am Ende auftaucht und nicht am Anfang. Er ergibt sich wieder 99! - und wir erhalten:

p = 1/(100*101)

Fazit:

Die Fälle A und B haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Wir verstehen nun auch, dass die Wahrscheinlichkeit nicht von dem Zug abhängt, bei dem wir die weiße Kugel ziehen. Es kann auch bei Zug 23, 49 oder 79 geschehen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets das Produkt von 100 Brüchen.

Im Nenner müssen dabei alle Zahlen von 2 bis 101 auftauchen, denn Antonia zieht ja erst eine Kugel von 2, dann eine von 3 - bis es zuletzt eine von 101 ist.

Im Zähler, also oberhalb des Bruchstrichs, tauchen als Faktoren alle Zahlen von 1 bis 99 auf, weil jede dieser Zahlen für die Anzahl der blauen Kugeln steht, die sich während der 100 Spielzüge in der Schale befinden.

Und es taucht noch ein weiterer Faktor im Nenner auf: Eine 1, die für die eine weiße Kugel steht, die bei einem der 100 Züge gezogen wird, bei dem sich logischerweise nur eine einzige weiße Kugel in der Schale befindet.

Wann die weiße Kugel gezogen wird, das entscheidet nur darüber, an welcher Position der Faktor 1 im Zähler auftaucht. Auf das Ergebnis hat das keinen Einfluss. Die Wahrscheinlichkeit beträgt in jedem Fall 1/(100*101).

Und wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten in allen 100 Fällen gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der weißen Kugel in den Zügen von 1 bis 50 genauso groß wie für das Ziehen im Bereich von 51 bis 100.

Vielen Dank an den Leser Roland Stamm, der dieses Problem vorgeschlagen hat!

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - hier sind die letzten zehn Folgen:



insgesamt 98 Beiträge
Alle Kommentare öffnen
Seite 1
dasfred 31.03.2019
1. Ich mag keine Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ich war damals gut genug, die Prüfung gerade so zu bestehen. Danach habe ich mich auf die Spezialisten verlassen. Aber aller Wahrscheinlichkeit nach wird es nächste Woche wieder Interessant.
til23 31.03.2019
2. Sehe ich das Falsch?
Wenn die Wahrscheinlichkeit jedes mal sinkt noch eine weiße Kugel zu zuziehen, dann muss doch die Wahrscheinlichkeit anfangs größer sein als am Ende. Ich glaube was hier berechnet wurde ist die Wahrscheinlichkeit genau 1. Kugel zu ziehen. *Wann war das? Während der ersten 50 Züge oder während der zweiten 50? Was hat die höhere Wahrscheinlichkeit?*
Myrlin 31.03.2019
3. Lach!
Rätsel: Warum stimmt die Lösung nicht?
quark2@mailinator.com 31.03.2019
4.
Die Antwort scheint mir nicht die gestellte Frage zu beantworten. Das fängt schon mit der mutigen, nicht bewiesenen aber vermutlich dennoch richtigen Annahme an, daß das Ausrechnen von zwei Extremfällen reicht, um nachzuweisen, daß jede dazwischen liegende Verteilung ebenfalls diese Wahrscheinlichkeit hat. Aber das ist nicht mein Punkt. Gefragt wurde, ob es wahrscheinlicher ist, daß weiß in den ersten oder zweiten 50 Zügen gezogen wurde. Entsprechend wären diese beiden Fälle zu vergleichen. Wird weiß ganz am Anfang gezogen, ist es für den ganzen Rest des Vorgangs wahrscheinlicher, daß noch ein weiteres Mal weiß gezogen wird, als wenn weiß sich erst ganz am Schluß verdoppelt. Ich kann das hier mit Worten schlecht rüberbringen, aber irgendwas scheint mir hier nicht zu stimmen. Oder ich muß nochmal in Ruhe nachdenken ;-).
computerbauboehm 31.03.2019
5. der autor
guckt leider hier nur vom Ende her auf das Ergebnis. die Fragestellung fragt jedoch nach der situaltion innerhalb des zieh-prozesses. und da ist die Wahrscheinlichkeit die weiße Kugel zu ziehen in den ersten 50 Zügen höher als danach.
Alle Kommentare öffnen
Seite 1

© SPIEGEL ONLINE 2019
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung


TOP
Die Homepage wurde aktualisiert. Jetzt aufrufen.
Hinweis nicht mehr anzeigen.