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31. März 2019, 16:30 Uhr

Rätsel der Woche

Ein blaues Wunder

Von und (Grafik)

Antonia legt immer mehr Kugeln in eine Schale. Über die Farbe entscheidet der Zufall. Am Ende liegen nur zwei weiße Kugeln drin. Komisch, oder?

Das Rätsel aus der vorigen Woche, das Kryptogramm, fanden die meisten Leser sehr leicht. Beim Problem dieser Woche dürfte das etwas anders sein. Es fällt in den Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung und hat seine Tücken. Geben Sie nicht zu schnell auf!

Hier kommt die Aufgabe: Antonia hat sich ein Glücksspiel mit blauen und weißen Kugeln ausgedacht. In einer Schale liegen zwei Kugeln, eine ist weiß und eine ist blau. Antonia zieht zufällig, also ohne hinzuschauen, eine Kugel aus der Schale.

Sie betrachtet deren Farbe und legt die gezogene Kugel zusammen mit einer weiteren, gleichfarbigen Kugel zurück in die Schale. Diese Schritte wiederholt sie immer wieder. Mit jedem Zug kommt so eine zusätzliche Kugel hinein. Sie macht das genau 100 Mal, sodass am Ende 102 Kugeln in der Schale liegen.

Antonia mag Blau, und offenbar hat sie großes Glück gehabt. Denn in der Schale liegen 100 blaue und nur zwei weiße Kugeln. Sie hat also nur ein einziges Mal eine weiße Kugel gezogen.

Wann war das? Während der ersten 50 Züge oder während der zweiten 50? Was hat die höhere Wahrscheinlichkeit?

Hier geht es zur Lösung

Ganz gleich wann Antonia die weiße Kugel gezogen hat - die Wahrscheinlichkeit für 99 blaue und eine weiße Kugel ist immer gleich.

Das hat mich zunächst auch verblüfft, weil die Chancen auf das Ziehen einer weißen Kugel ja zu Beginn größer zu sein scheinen als am Ende. Aber die genaue Berechnung zeigt, dass unsere Intuition uns hier einen Streich spielt.

Wir schauen uns zunächst zwei Extremfälle an:

A) Die weiße Kugel wird als erste Kugel gezogen, danach folgt 99 Mal Blau.

B) Zuerst wird 99 Mal Blau gezogen und dann im letzten Zug Weiß.

Fall A:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür ist ein Produkt aus 100 Einzelwahrscheinlichkeiten, die dafür stehen, dass jeder der 100 Züge so abläuft wie in diesem Fall beschrieben.

Der erste Faktor gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die erste gezogene Kugel weiß ist. In der Schale liegen eine weiße und eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeit ist daher 1/2.

Im zweiten Zug wird eine blaue Kugel gezogen. Bei nun zwei weißen und einer blauen Kugel in der Schale beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür 1/3.

Im dritten Zug wird wieder eine blaue Kugel gezogen (und in allen weiteren auch). In der Schale befinden sich zwei blaue und zwei weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist deshalb 2/4.

So geht das immer weiter: Im fünften Zug liegt die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel bei 3/5, im sechsten Zug bei 4/6 … und im hundertsten Zug beträgt sie 99/101.

Nun multiplizieren wir diese 100 Brüche miteinander und erhalten die Gesamtwahrscheinlichkeit p für den Fall A:

p = 1*1*2*3*...*99/(2*3*4*5*...*101)

Wenn Sie mit Fakultäten vertraut sind, können Sie auch schreiben:

p = 99!/101!

Das Ergebnis lautet dann:

P = 1/(100*101)

Fall B:

Wir ziehen 99 Mal Blau und erst am Ende einmal Weiß.

Im ersten Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau 1/2. Im zweiten Zug, nun liegen zwei blaue und eine weiße Kugel in der Schale, liegt der Wert bei 2/3. Im dritten Zug erhält man 3/4 - und so geht es weiter bis zum 99. Zug, bei dem die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel 99/100 beträgt.

Im letzten Zug zieht Antonia die weiße Kugel. In der Schale liegen 100 blaue und eine weiße - die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb 1/101.

Multipliziert man all diese 100 Brüche miteinander, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit p für den Fall B:

p = 1*2*3*4*...*99*1/(2*3*4*5*...*101)

Wir sehen sofort, dass das Ergebnis identisch ist mit dem von Fall A. Unterm Bruchstrich steht das Produkt aller Zahlen von 1 bis 101 (= 101!). Überm Bruchstrich stehen dieselben Faktoren wie im Fall A - nur dass eine 1 erst ganz am Ende auftaucht und nicht am Anfang. Er ergibt sich wieder 99! - und wir erhalten:

p = 1/(100*101)

Fazit:

Die Fälle A und B haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Wir verstehen nun auch, dass die Wahrscheinlichkeit nicht von dem Zug abhängt, bei dem wir die weiße Kugel ziehen. Es kann auch bei Zug 23, 49 oder 79 geschehen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets das Produkt von 100 Brüchen.

Im Nenner müssen dabei alle Zahlen von 2 bis 101 auftauchen, denn Antonia zieht ja erst eine Kugel von 2, dann eine von 3 - bis es zuletzt eine von 101 ist.

Im Zähler, also oberhalb des Bruchstrichs, tauchen als Faktoren alle Zahlen von 1 bis 99 auf, weil jede dieser Zahlen für die Anzahl der blauen Kugeln steht, die sich während der 100 Spielzüge in der Schale befinden.

Und es taucht noch ein weiterer Faktor im Nenner auf: Eine 1, die für die eine weiße Kugel steht, die bei einem der 100 Züge gezogen wird, bei dem sich logischerweise nur eine einzige weiße Kugel in der Schale befindet.

Wann die weiße Kugel gezogen wird, das entscheidet nur darüber, an welcher Position der Faktor 1 im Zähler auftaucht. Auf das Ergebnis hat das keinen Einfluss. Die Wahrscheinlichkeit beträgt in jedem Fall 1/(100*101).

Und wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten in allen 100 Fällen gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der weißen Kugel in den Zügen von 1 bis 50 genauso groß wie für das Ziehen im Bereich von 51 bis 100.

Vielen Dank an den Leser Roland Stamm, der dieses Problem vorgeschlagen hat!

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - hier sind die letzten zehn Folgen:

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