Rätsel der Woche Brüchige Angelegenheit

Die Summe von drei Zahlen soll genau Eins ergeben. Das klingt einfacher, als es ist. Denn die drei Zahlen müssen ganz besondere Eigenschaften haben.
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Schon vor mindestens 5000 Jahren kannten Menschen Bruchzahlen. Aus Mesopotamien sind Schriften überliefert, die ganze und gebrochene Zahlen enthalten. Doch erst im Mittelalter bekamen sie eine eigene Bezeichnung: rationale Zahlen. Sie können als Bruch oder Verhältnis (ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden.

Beispiele für rationale Zahlen sind 2/3 oder 1/27 - aber das wissen Sie wahrscheinlich. Die Frage ist: Wie gut können Sie mit gebrochenen Zahlen rechnen? Finden Sie es heraus - mit der folgenden Aufgabe:

Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung

1/x + 1/y + 1/z = 1

Wobei x, y und z natürliche Zahlen sind, die alle größer als Null sind.

Hier geht es zur Lösung

Abgesehen von den möglichen Vertauschungen bei x, y, z gibt es drei verschiedene Lösungen für 1/x + 1/y + 1/z = 1:

3, 3, 3
2, 3, 6
2, 4, 4

Warum existieren keine weiteren Lösungen? Wenn wir uns die Gleichung

1/x + 1/y + 1/z = 1

genauer anschauen, wird schnell klar, dass mindestens eine der gesuchten Zahlen kleiner als 4 sein muss. Sind nämlich alle drei Zahlen x, y, z größer oder gleich 4, ist die Summe 1/x + 1/y + 1/z höchstens 3/4 und damit zu klein.

Nehmen wir an, dass x die kleinste der drei gesuchten natürlichen Zahlen ist. Weil x kleiner als 4 ist, kommen als mögliche Lösungen nur 1, 2 oder 3 in Frage. Wir schauen uns die drei Fälle einzeln an:

a) x=1

In diesem Fall wäre die Summe 1/x + 1/y + 1/z auf jeden Fall größer als 1, denn 1/1 ist ja schon 1. Es gibt deshalb hier keine Lösung!

b) x=2

Die Zahlen y und z müssen dann beide größer sein als 2. Sonst wäre 1/x + 1/y + 1/z ja größer als 1 (denn 1/2 + 1/2 = 1). Nehmen wir an, y ist die zweitkleinste Zahl, also größer oder gleich z. Für y=3 gibt es eine Lösung: z=6, denn 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.

Für y=4 existiert ebenfalls eine Lösung: z=4, denn 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1.

Wenn y größer als 4 ist (und damit auch z>4), kann es keine Lösung mehr geben, denn 1/y + 1/z ist dann kleiner oder gleich 2/5. Die Summe 1/y + 1/z muss aber 1/2 sein, damit die Gleichung 1/2 + 1/y + 1/z = 1 stimmt.

c) x=3

Weil y und z mindestens so groß sind wie x, gibt es nur eine Lösung - nämlich y=3 und z=3. Sobald eine der beiden Zahlen y, z oder beide größer als 3 sind, ist die Summe 1/x + 1/y + 1/z kleiner als 1 und es kann keine Lösung geben.

Diese Aufgabe habe ich im Archiv der Mathematikolympiaden  entdeckt - sie wurde Schülern der siebenten Klasse in der Landesrunde gestellt. Das ist die höchste Stufe des Wettbewerbs in dieser Altersgruppe. Eine Bundesrunde gibt es erst ab Klasse 8.

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