Rätsel der Woche Das Geschwister-Problem

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Von und (Grafik)

3. Teil: Hier geht es zur Lösung


Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martina zwei Söhne hat, beträgt 1/3. Bei Stefanie kommt überraschenderweise ein anderes Ergebnis heraus - nämlich 13/27.

Zunächst die Erklärung für Martina: Man könnte glauben, die Wahrscheinlichkeit liege bei 1/2. Und das würde sogar stimmen, sofern wir zum Beispiel wissen, dass das ältere Kind ein Junge ist. Das jüngere Kind wäre dann mit einer Wahrscheinlichkeit von je 50 Prozent männlich oder weiblich.

Doch wir wissen nicht, ob der Sohn von Martina (falls sie nur einen hat) das ältere oder das jüngere Kind ist. Wir wissen nur, dass sie mindestens einen Sohn hat. Also sind beide Fälle denkbar (jünger und älter) - und wir müssen uns beide anschauen.

Bei zwei Kindern sind die folgenden vier Geschlechterverteilungen möglich, die alle gleichwahrscheinlich sind. Das erstgenannte Kind soll das ältere sein:

  • Junge, Junge
  • Junge, Mädchen
  • Mädchen, Junge
  • Mädchen, Mädchen

Fall vier (Mädchen, Mädchen) entfällt, weil wir ja wissen, dass Martina mindestens einen Sohn hat. Es blieben drei Fälle übrig, die gleich wahrscheinlich sind. Aber nur im Fall (Junge, Junge) gibt es zwei Brüder - die Wahrscheinlichkeit ist deshalb 1/3!

Komplizierter wird es im Fall Stefanie. Über das Problem "Boy or Girl Paradox" gibt es einen eigenen Wikipedia-Eintrag und einige Fachartikel, etwa von Tanya Khovanovaoder von Julie Rehmeyer. Die hier von mir angegebene Lösung 13/27 stimmt demnach nur unter bestimmten Voraussetzungen. Entscheidend ist, auf welchem Weg wir an die Informationen über die Kinder von Stefanie gekommen sind. Das Ergebnis lautet nur dann 13/27, wenn wir eine Mutter von zwei Kindern zufällig auswählen und fragen: "Hast du mindestens einen Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde?" Und wenn die Antwort darauf "Ja" lautet.

Hier die Analyse: Das ältere Kind kann ein Mädchen oder Junge sein, das jüngere ebenfalls (solange nicht beide zugleich Mädchen sind). Zudem ist jedes der Kinder an einem der sieben Wochentage geboren, mit jeweils gleich großer Wahrscheinlichkeit.

Folgende Tabelle listet alle möglichen Fälle für zwei Kinder und sieben Wochentage auf, an denen sie geboren sein können. Oben stehen die Eigenschaften des älteren Kindes - es gibt dabei 14 verschiedene Möglichkeiten wie Junge-Montag oder Mädchen-Freitag. Links sind die 14 Möglichkeiten für das zweite Kind. Ohne jegliches Vorwissen gäbe es 14 x 14 = 196 verschiedene Kombinationen für zwei Geschwisterkinder.

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Weil wir jedoch wissen, dass ein Kind ein Junge ist, das an einem Dienstag geboren wurde, ergeben sich nur 13 + 14 = 27 verschiedene Varianten. Diese 27 Kästchen sind in der Tabelle schwarz schraffiert.

Jede dieser 27 Kombinationen erfüllt die Bedingungen der Aufgabe. Alle 27 sind gleich wahrscheinlich. Aber nur 6 + 7 = 13 davon sind Fälle, in denen beide Kinder Jungen sind, diese befinden sich im blauen Segment links oben. Deshalb beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht 1/3 sondern 13/27.

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Anders ist die Situation, wenn wir die Fragen an eine Mutter wie folgt formulieren: "Hast du mindestens einen Sohn?" Antwortet sie mit "Ja", bitten wir sie den Geburtstag des Jungen zu nennen. Falls sie zwei Söhne hat, soll sie den Geburtstag eines Sohnes nennen, den sie zufällig ausgewählt hat. Wenn die Frau als Antwort Dienstag angegeben hat, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Söhne 1/3 - wie bei Martina.

Es kann als Ergebnis jedoch auch 1/2 herauskommen. Nämlich dann, wenn wir der Mutter folgende Frage stellen: "Wähle zufällig eines deiner beiden Kinder aus: Ist es ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde?" Wenn sie mit Ja antwortet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Söhne gleich 1/2.

Hinweis: Der Text der Lösung wurde an die veränderte Fragestellung angepasst und um zusätzliche Erläuterungen zum "Boy or Girl Paradox" ergänzt.

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insgesamt 455 Beiträge
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Seite 1
senioriii 11.11.2017
1. falsch gedacht
Ich glaube es liegt ein Fehler vor. Wenn die Reihenfolge der Kinder von Bedeutung ist muss man die Fälle Jung/Junge und Mädchen/Mädchen doppelt zählen. Man hätte dann die Fälle Junge1/Jung2 und Junge2/Junge1. Dann hätte man folgende Möglichkeiten J1/j2 J2/J1 J/M M/J M1/M2 M2/M1 Das sind dann 6 Möglichkeiten von denen 3 einen zweiten Jungen enthalten - also 50%. Den zweiten Fall habe ich nicht untersucht. Ich vermute aber den gleichen Gedankenfehler.
frietz 11.11.2017
2.
wenn jemand 2 Kinder hat gibt es genau 3 Möglichkeiten (wenn man nur von Männlein und Weiblein ausgeht) 2 Jungen, 2 Mädchen oder ein Junge und ein Mädchen. Wo soll denn die 4. Möglichkeit herkommen? Das Alter spielt doch keine Rolle. Hat schon mal jemand Eltern sagen gehört: "Wir haben einen Jungen und ein Mädchen, lieber wäre uns aber ein Mädchen und ein Junge." Was für ein Blödsinn! Deshalb sind die 50 % richtig!
uwe.baus 11.11.2017
3. Sicher?
Auch wenn meine Statisikvorlesung eine Weile her ist, bin ich mir doch sicher das die Antwort falsch ist. Am Beispiel der Geschwister. Wenn ich das Alter ins Spiel bringe, dann gehe ich davon aus das die Kinder unterscheidbar sind. Verwende wir jetzt folgende Nomenklatur: 1 fürs erste Kind, 2 fürs 2. (auchtung nicht bezogen auf das alter, nur bezogen auf die Unterscheidung). m für männlich und w für weiblich und > für wer älter ist. Dann gibt es 6 Fälle: 1.1m > 2m 1m > 2w 1w > 2w 2m > 1m 2m > 1w 2w > 1 w
oschn 11.11.2017
4. 1/4?
Warum 1/3 und nicht 1/4? MJ, JM, MM, JJ -> 4 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten. Aber wir suchen nur JJ. Also 1/4? Gab es nicht schonmal so ein ähnliches Rätsel vor 1-2 Jahren? Die Variante mit dem Wochentag war mir jetzt zu kompliziert, sie auf die schnelle auszurechnen.
uwe.baus 11.11.2017
5. Sicher
Auch wenn meine letzte Statisikvorlesung eine Weile her ist, denke ich doch das die Lösung falsch ist. Wenn wir das alter ins Spiel bringen müssen wir von der Unterscheidbarkeit der Kinder ausgehen. Es gibt also Kind 1 und 2. Sie können entweder m oder w sein. Und ein kind ist älter, als >. Dann haben wir 6 Fälle: 1. 1m > 2m 2. 1m > 2w 3. 1w > 2w 4. 2m > 1m 5. 2m > 1w 6. 2w > 1w Fall 3 und 6 sind nicht möglich, ad wir wissen das mindestens 1 Kind ein Junge ist. Bleiben insgesamt 4 Fälle übrig die alle gleich wahrscheinlich sind. je 2 mit m+m und 2 mit m+w. Macht also eine Wahrscheinlichkeit von 50%. Oder anderst ausgedrückt, nur durch hinzufügen eines beliebgen Parameters (man könnte auch Körpergröße oder Augenfarbe nehmen) kann ich die Wahrscheinlichkeit nicht verändern. freue mich auf Kommentare.
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