Rätsel der Woche Der eifrige Schäferhund

Alexo passt gut auf seine Schafe auf: Der Schäferhund flitzt ständig zwischen dem Ende und dem Anfang der laufenden Herde hin und her. Welchen Weg legt er dabei zurück?
Foto: SPIEGEL ONLINE

Sie wissen sicher noch aus dem Physikunterricht, was eine gleichförmige Bewegung ist: Ein Objekt bewegt sich dabei geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit. Das ist nicht sonderlich kompliziert.

Doch das heutige Rätsel zeigt, dass solche Bewegungen schnell unübersichtlich werden können, sobald unterschiedliche Geschwindigkeiten und plötzliche Richtungswechsel zusammenkommen.

Schäferhund Alexo ist besonders eifrig und will seine Schäfchen immer im Blick haben. Als die Tiere auf eine neue Weide wechseln wollen, bilden sie eine 100 Meter lange Herde, die sich mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinig bewegt.

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Alexo befindet sich am Ende der Herde, als er Richtung Spitze der Herde losrennt. Dort angekommen, macht er sofort kehrt und flitzt wieder zurück zum Ende der Herde - siehe Zeichnung oben. Als er hinten ankommt, hat die Herde genau 100 Meter zurückgelegt.

Wir gehen davon aus, dass Schafe und Hund sich mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinig bewegen und dass bei der Wende des Hundes keine Zeit verloren geht.

Welchen Weg hat der Hund zurückgelegt, als er vom Schluss der Herde zur Spitze der Herde und wieder zurück gerannt ist?

Hier geht es zur Lösung

Wir zeichnen ein Weg-Zeit-Diagramm, das die Wege des Hundes und der Schafsherde abbildet. Die Spitze der Schafsherde startet bei s=100, Alexo hingegen am Nullpunkt. Im Abstand x von Alexos Startpunkt und zum Zeitpunkt t1 erreicht der Schäferhund die Spitze der Herde und kehrt um.

Zum Zeitpunkt t2 trifft er auf die Marke von 100 Metern. Das ist genau der Moment, in dem die Spitze der Herde bei 200 Metern ankommt.

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Die Geschwindigkeit der Schafsherde bezeichnen wir mit vS , die des Hundes mit vH . Dann gilt:

x = 100 + vS*t1 = vH*t1

Daraus folgt:

vH/vS = x/(x - 100)

Nun schauen wir uns die Bewegung von Hund und Schafen an, nachdem Alexo die Spitze der Herde erreicht hat und umkehrt. Es gilt dann:

vS = (200 - x)/(t2 - t1)

vH = (x - 100)/(t2 - t1)

vH/vS = (x - 100)/(200 - x)

Wir können die beiden Ergebnisse für vH/vS nun gleichsetzen, um x auszurechnen:

x/(x - 100) = (x - 100)/(200 - x)

(x - 100)2 = x*(200 - x)

Das ist eine quadratische Gleichung, die nur eine positive Lösung hat, und zwar

x = 100 + Wurzel(5000) = 170,71 Meter

Der Gesamtweg, den Alexo zurücklegt, beträgt x + x - 100, also:

x = 100 + 2* Wurzel(5000) = 241,42 Meter.

Vielen Dank an den Leser Johannes Wissing, der dieses Rätsel vorgeschlagen hat. Sie finden es in ganz ähnlicher Form auch auf der Seite mathematik.ch .

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