Alexo passt gut auf seine Schafe auf: Der Schäferhund flitzt ständig zwischen dem Ende und dem Anfang der laufenden Herde hin und her. Welchen Weg legt er dabei zurück?
Sie wissen sicher noch aus dem Physikunterricht, was eine gleichförmige Bewegung ist: Ein Objekt bewegt sich dabei geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit. Das ist nicht sonderlich kompliziert.
Doch das heutige Rätsel zeigt, dass solche Bewegungen schnell unübersichtlich werden können, sobald unterschiedliche Geschwindigkeiten und plötzliche Richtungswechsel zusammenkommen.
Schäferhund Alexo ist besonders eifrig und will seine Schäfchen immer im Blick haben. Als die Tiere auf eine neue Weide wechseln wollen, bilden sie eine 100 Meter lange Herde, die sich mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinig bewegt.
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Alexo befindet sich am Ende der Herde, als er Richtung Spitze der Herde losrennt. Dort angekommen, macht er sofort kehrt und flitzt wieder zurück zum Ende der Herde - siehe Zeichnung oben. Als er hinten ankommt, hat die Herde genau 100 Meter zurückgelegt.
Wir gehen davon aus, dass Schafe und Hund sich mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinig bewegen und dass bei der Wende des Hundes keine Zeit verloren geht.
Welchen Weg hat der Hund zurückgelegt, als er vom Schluss der Herde zur Spitze der Herde und wieder zurück gerannt ist?
Hier geht es zur Lösung
Wir zeichnen ein Weg-Zeit-Diagramm, das die Wege des Hundes und der Schafsherde abbildet. Die Spitze der Schafsherde startet bei s=100, Alexo hingegen am Nullpunkt. Im Abstand x von Alexos Startpunkt und zum Zeitpunkt t1 erreicht der Schäferhund die Spitze der Herde und kehrt um.
Zum Zeitpunkt t2 trifft er auf die Marke von 100 Metern. Das ist genau der Moment, in dem die Spitze der Herde bei 200 Metern ankommt.
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Die Geschwindigkeit der Schafsherde bezeichnen wir mit vS, die des Hundes mit vH. Dann gilt:
x = 100 + vS*t1 = vH*t1
Daraus folgt:
vH/vS = x/(x - 100)
Nun schauen wir uns die Bewegung von Hund und Schafen an, nachdem Alexo die Spitze der Herde erreicht hat und umkehrt. Es gilt dann:
vS = (200 - x)/(t2 - t1)
vH = (x - 100)/(t2 - t1)
vH/vS = (x - 100)/(200 - x)
Wir können die beiden Ergebnisse für vH/vS nun gleichsetzen, um x auszurechnen:
x/(x - 100) = (x - 100)/(200 - x)
(x - 100)2 = x*(200 - x)
Das ist eine quadratische Gleichung, die nur eine positive Lösung hat, und zwar
x = 100 + Wurzel(5000) = 170,71 Meter
Der Gesamtweg, den Alexo zurücklegt, beträgt x + x - 100, also:
x = 100 + 2* Wurzel(5000) = 241,42 Meter.
Vielen Dank an den Leser Johannes Wissing, der dieses Rätsel vorgeschlagen hat. Sie finden es in ganz ähnlicher Form auch auf der Seite mathematik.ch.
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Titel: Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
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Vor zwei Wochen beim Rätsel Tageswanderung hatte ich fünf Exemplare meines neuen Rätselbuchs "Kommen drei Logiker in eine Bar" verlost. Es gab mehr als 4500 Einsendungen - hier sind die Gewinner: Tobias Bohnet aus Dresden, Lukas Bierer aus Frankfurt-Höchst, Marius van der Meer aus Berlin, Jürgen Dreutter aus Altdorf bei Nürnberg und Volker Wilmsen aus Münster. Herzlichen Glückwunsch!
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Die schönsten Logikrätsel: Von Lügnern, Ziegen und Mönchen
Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die vorigen zehn:
12 BilderDie schönsten Logikrätsel: Von Lügnern, Ziegen und Mönchen
1 / 12
Was für ein seltsames Dorf! Jeder Einwohner ist entweder ein notorischer Lügner, oder er sagt stets die Wahrheit. Außerdem ist jeder Einwohner Anhänger genau eines der vier Fußballvereine A, B, C und D, die es in dem Dorf gibt.
Ein Meinungsforschungsinstitut hat allen 250 Dorfbewohnern die folgenden vier Fragen gestellt: Sind Sie Anhänger von Team A? Sind Sie Anhänger von Team B? Sind Sie Anhänger von Team C? Sind Sie Anhänger von Team D?
Auf einer Insel leben Lügner und Menschen, die stets die Wahrheit sagen. Ein Besucher fragt einen Insulaner: "Kommst du aus Wahrhausen?" Der antwortet mit einer komischen Geste. Er streckt den linken Arm zur Seite, drückt Zeigefinger und Daumen zusammen und spreizt die übrigen Finger.
Plötzlich beginnt ein zweiter Einheimischer zu reden: "Die Geste ist hier auf der Insel weit verbreitet und bedeutet 'Ja'. Aber glauben Sie dem Kollegen nichts, er ist ein Lügner." Was nun?
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Ein Wanderer ist auf der Suche nach der Herberge. Es ist bereits dunkel, als er an eine Weggabelung kommt. Dort stehen drei Gespenster. Das Gespenst des Tages sagt stets die Wahrheit, das Gespenst der Nacht lügt immer und das Gespenst der Dämmerung sagt je nach Lust und Laune mal die Wahrheit, mal lügt es.
Die drei Geister sehen gleich aus, man kann nicht erkennen, wer welches Gespenst ist. Die drei wollen dem Wanderer gern beim Finden des Weges zur Herberge helfen, allerdings darf dieser nur zwei Fragen stellen. Und zwar entweder beide an dasselbe Gespenst oder an zwei verschiedene. Wie muss der Wanderer vorgehen, um den richtigen Weg zu finden?
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Das Geld wird knapp am Hofe, und der König muss sparen. So geraten die Stellen der zehn Logiker auf die Streichliste, die den König schon seit Jahren beim Schachspielen beraten.
Er will ihnen noch eine Chance geben, ihre gut dotierten Jobs behalten zu können.
"Ihr stellt euch in einer Reihe der Größe nach auf. Links der größte, rechts der kleinste. Jeder blickt in Richtung der Kleineren und darf sich weder umdrehen noch aus der Reihe heraustreten. Dann setze ich jedem einen schwarzen oder weißen Hut auf. Den eigenen Hut könnt ihr nicht sehen, nur die der vor euch stehenden. Jeder soll die Farbe seines Hutes sagen, beginnend links mit dem Größten. Erlaubt sind nur die Worte schwarz oder weiß."
Die zehn Logiker schauen ratlos. Wie soll das gehen?
"Ihr habt fünf Minuten, euch kurz zu beraten - dann müsst ihr euch aufstellen und bekommt die Hüte aufgesetzt. Wenn mindestens neun von euch zehn die richtige Farbe nennen, dürft ihr weiter am Hofe für mich arbeiten."
Wie retten die Logiker ihre Jobs?
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Es ist kurz vor Mitternacht, als sich fünf dunkle Gestalten auf einem düsteren Platz treffen. Die Gangster sind seit Jahren untereinander zerstritten - jetzt wollen sie die Waffen sprechen lassen. Sie stehen alle unterschiedlich weit voneinander entfernt.
Jeder von ihnen hat genau einen Schuss im Revolver und zielt auf seinen nächsten Nachbarn. Punkt null Uhr, als die Kirchenglocke läutet, drücken die fünf Männer ab. Jeder Schuss ist tödlich.
Zeigen Sie, dass mindestens einer der Gangster überlebt!
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Auf einer Insel leben zwei Stämme. Die Vertreter des einen Stamms sind dünn und lügen, die anderen sind dick und sagen stets die Wahrheit. Ein kurzsichtiger Schiffbrüchiger treibt auf einem Rettungsring auf die Insel zu. Nur schemenhaft erkennt der Mann drei Menschen. Ob sie dick oder dünn sind, kann er nicht sehen. Er weiß aber, dass er nur den Dicken trauen kann.
Um herauszufinden, welche der drei Gestalten ehrlich ist, ruft der Mann in Richtung der linken Person: "Was bist du für einer?" Die Antwort wird vom Wind verschluckt.
Darauf ruft der Schiffbrüchige zur Person in der Mitte: "Sag mir bitte, was der Erste gesagt hat!" Als Antwort kommt: "Ich bin ein Dicker."
Nun ruft der Mann in Richtung der dritten Gestalt, die rechts steht: "Was bist du für einer - und was sind die anderen?" Der Gefragte schreit zurück: "Ich bin ein Dicker und die anderen beiden sind Dünne."
Wem kann der Schiffbrüchige auf jeden Fall trauen?
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Drama im Kloster: Mindestens ein Mönch hat eine ansteckende Krankheit, aber diese zeigt sich anfangs nur mit einem Punkt auf der Stirn. Die Mönche dürfen weder miteinander reden noch Spiegel benutzen. Wie finden sie alle Infizierten?
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Sie befinden sich auf einer Insel, auf der zwei Stämme leben. Die einen sagen stets die Wahrheit, die anderen lügen immer. Äußerlich unterscheiden sich die Stämme nicht, man kann also nicht erkennen, ob jemand zum Stamm der Lügner gehört oder nicht.
Wie gemein: Der Bösewicht Gargamel hat 100 Schlümpfe eingesperrt. Er verspricht ihnen die Freiheit, wenn sie eine Glühlampe geschickt ein- oder ausschalten. Misslingt das, müssen alle sterben. Gibt es eine Rettung?
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Lügner am Tisch: Um einen ovalen Tisch herum sitzen mehrere Personen. Ein Teil der Anwesenden gehört zur Gruppe der Lügner, die anderen sagen stets die Wahrheit. Jeder Anwesende sagt über jeden seiner beiden Sitznachbarn, diese seien Lügner.
Eine am Tisch sitzende Frau erklärt: "Wir sind genau elf Personen." Daraufhin lacht ein ebenfalls am Tisch sitzender Mann laut los: "Haha, die Frau lügt. Wir sind zehn!"
Wie viele Personen sitzen am Tisch?
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Das Ziegenproblem hat schon manchem den Schlaf geraubt. Das Rätsel spielt in einer TV-Show, bei der Sie mit etwas Glück ein Auto gewinnen können, das sich hinter einer verschlossenen Tür verbirgt.
Das folgende Rätsel ist eine Variante des klassischen Ziegenproblems. Im TV-Studio gibt es vier Türen. Dahinter befinden sich zwei Autos und zwei Ziegen.
Sie suchen sich eine der vier Türen aus. Der Moderator lässt diese aber zunächst verschlossen und öffnet stattdessen zwei andere Türen. Hinter der einen ist ein Auto, hinter der anderen eine Ziege. Nun bietet Ihnen der Moderator dann an, Ihre Türauswahl noch einmal zu verändern.
Ist es sinnvoll, dieses Angebot anzunehmen?
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Drei Männer sind zum Tode verurteilt - aber der Richter gibt ihnen noch eine letzte Chance. "Einer von euch hat eine weiße Mütze auf, die anderen tragen graue Mützen. Wenn sich derjenige mit der weißen Mütze bei mir meldet, sollt ihr leben. Ihr dürft aber nicht miteinander reden."
Die Männer stehen hintereinander, jeder darf nur nach vorn blicken und kann die Farbe der eigenen Mütze nicht sehen. Dafür sieht jeder aber die Mütze beziehungsweise die Mützen des oder der vor ihm stehenden - mit Ausnahme des Mannes ganz vorn, denn vor ihm ist ja niemand. Wie können die drei ihr Leben retten?
